引力河、引力时间膨胀、引力波/《相对论里的时空观》之九
D.引力河模型
让我们从抽象的场方程回到身边的时空扭曲现象。在“坠落油漆匠”白日梦中，空间本身像瀑布一样以加速度g流入地面，本节进一步挖掘其中意义。爱因斯坦曾把空间想象成为由一个个空间点构成，接近地面的空间点类似自由下落的物体微粒。它们如同遵循牛顿万有引力定律，所以加速度是g。虽然广义相对论早已取代万有引力定律，但二者在大多数情况下等效。通过研究物体微粒在万有引力作用下的行为，我们可以借助等效关系，直观理解广义相对论里的时空扭曲。
在地球周边，其他天体的引力远比地球的弱，可以忽略不计。我们专注这块区域，假想它就是全部宇宙，其中只有地球位于中央。在这个“宇宙”的边缘，造物主不断在各处投放粉尘，即质量密度极低的物体微粒。不难理解，因为与地球遥远，宇宙边缘的粉尘虽受到引力、但极微弱，所以几乎静止，同时有极小的加速度，指向地心。它们极缓慢地向地球移动，但随距离拉近，受到的引力变大、加速度变大，积累的速度也变高。从地球上看，四面八方的微粒都朝自己扑来，在足够长时间后，来自最远处的微粒到达地球，并且前赴后继，最后宇宙达到动态平衡。根据万有引力定律，我们可以计算出平衡后微粒加速度a(x)和速度v(x)与离地心距离(x)的关系：
其中M是地球质量，G是万有引力常数，v(x)是a(x)的积分。当x=+∞时，v(x)的初始值为0。一个关键点，v(x)与a(x)都与微粒自身质量无关，只随距离x改变。根据以上广义相对论与万有引力定律的等效性，v(x)与a(x)也是空间点流向地心的速度与加速度，这就是广义相对论中著名的“引力河模型”(The river model)。
图30. 引力河模型。左为全局图景，空间总体弯曲、呈同心球面状；右为地表局部图景，在小范围内空间平坦。
时空扭曲几乎总让普通人感到难以理解，但引力河模型既精确又直观，所以广受欢迎。细致地说，它描述3D空间如何在1D时间里变化，并非4D时空本身如何扭曲。在上图中，地球造成周围空间扭曲，但地面观察者身边的局部空间却平坦。这反映广义相对论基础之一，即爱因斯坦等效原理。无论时空如何扭曲，任一局部总是平坦的。另外，中学物理中讲过，以上v(x)表达式其实就是卫星逃逸速度公式、或称“第二宇宙速度”。如达到这个速度，卫星恰好挣脱地球引力、飞向深太空。为帮大家回忆，最慢的稳定卫星沿圆形轨道运行，其速度被称为“第一宇宙速度”。介于第一和第二宇宙速度之间时，卫星沿椭圆形轨道绕地飞行。
图31. 引力河更像湖水泄洞。早有人发现“引力河模型”名称不贴切。空间流入地面更像在平静的湖水底部打个洞，然后湖水不断泄入；距离洞口越近，水流速越快，离洞口遥远的水几乎不动。这与天体周围空间流入天体状况神似。但将空间看成流水也有局限。在真实水流中，水依靠摩擦力带动漂浮物，而摩擦力受二者之间相对速度决定。但根据牛顿力学第一定律，物体在空间“河流”中只有惯性，没有与空间之间的摩擦力。
回顾中学时期学习万有引力定律，我们先计算每样物体受到的重力，再根据牛顿第二定律计算出其自由下落加速度，然后“惊奇”地发现所有物体的加速度都一样。牛顿物理认为这本质上是巧合，但早有人怀疑其背后隐藏未知的物理原理【3】。广义相对论就是这个原理。地球并不产生引力，只改变周围时空，时空中自由物体依据惯性运动，惯性要求物体与所处空间保持恒定速度。引力河模型更具体形象。地球附近空间流向地心，其中自由物体与之保持恒定相对速度。空间以加速度g下落，自由落体必须也以加速度g下落，二者之间相对速度才可能恒定。g是空间性质，与物体无关。
E.引力时间膨胀
在狭义相对论中，速度造成时间膨胀；在广义相对论中，海拔高度也造成时间膨胀，比如山顶的钟比山脚的钟走得快。1959年，一对哈佛大学师生在实验中测试出楼顶与楼底之间存在时间差别，那幢楼只有23米高，造成轰动。现代技术更夸张，可以测出一毫米海拔高度差造成的时间区别。经典物理和狭义相对论都无法解释这种现象，只有广义相对论可以。本节借助引力河模型直观说明。
图32. 引力时间膨胀。左为思想试验设置，观察者处于太空深处、地球引力场之外(x = +∞)。地面与地心距离x1 = 地球半径，卫星与地心距离x2 > x1。右为哈佛大学物理实验楼，1959年的著名实验(Pound-Rebka experiment)就发生在它的最右边部分，结果发现一楼与顶楼之间存在引力时间膨胀。
首先不考虑卫星飞行速度或地球自转速度，观察者处于深太空，回头看地面、卫星上、和身边钟表，发现它们不同步。由于引力河效应，空间不断垂直流入地面，在不同高度上(以与地心的距离 x 表示)具有不同的下落速度。图中各个钟表都与地球保持相对静止，因此相对于所在位置的“空间河流”，它们的相对速度就是空间下落速度，即(Exp.28)中的v(x)。这个相对速度引发狭义相对论中的速度时间膨胀，膨胀因子就是洛伦兹因子，根据(Exp.2)：
其中t(x)是距离地心x处的时间；t(∞)是太空深处时间，不受引力场影响；v(x)是逃逸速度(第二宇宙速度)。造成不同高度之间时间膨胀的根本原因是地球引力场，所以这是“引力时间膨胀”。因为γ(x)是减函数，且卫星比地面距离地心更远，所以引力时间膨胀使得卫星上的时间相对于地面变快。
如果计入卫星的轨道运动和地球自转，还会产生狭义相对论中的速度时间膨胀。通常卫星速度远高于地面的自转速度，因此这一效应使卫星上的时间相对于地面变慢。可见，引力时间膨胀和速度时间膨胀对卫星上时间产生方向相反的影响。宇航科技中有一个广为人知的结论，当卫星在离地高度3185km(略低于地球半径的一半)的圆形轨道上稳定飞行时，两种时间膨胀效应正好抵消，卫星上的时间与地面同步。
F.引力波
毫无疑问，牛顿万有引力定律比广义相对论简单易懂得多。在经典科学时代，简单科学理论大行其道，著名例子还包括关于静电力的库仑定律。受数学发展水平限制，如相对论那样复杂的理论在当时不可能。但这些简单实用的物理定律隐含物与物之间瞬时隔空作用，让虔诚的基督徒科学家们内心不安。法拉第和麦克斯韦尔首先突破。前者注重实验，开启学术大方向；后者强于理论，采用偏微分方程成功改造电磁学，将瞬时电磁作用局限于本地，将隔空电磁作用转化为电磁波、速度有限，以此让所有电磁作用变得连续，既符合主流基督教神学精神、又经受住科学实验验证。几百年来中国学界完全不能理解基督教信仰是现代科学背后的主要推动力、基督教神学为科学发展指明大方向。面对直截了当的事实，中国学者们视而不见。在1865年麦克斯韦尔发表其划时代文章之前，人类并不知道光是电磁波，也没有科学实验表明电磁作用都是波，更没有劳动人民在生产实践中发现这点。法拉第和麦克斯韦尔在信仰推动下、以神学为指导思想，才创立了现代电磁学。
麦克斯韦尔也注意到万有引力是瞬时隔空作用，为此不安、但无力解决。他找出牛顿亲笔信，并公之于众，警告世人万有引力的发明者从一开始就不相信瞬时隔空作用。爱因斯坦敬佩麦克斯韦尔，从后者手里接过新科学革命的火炬，在狭义相对论里宣布光速最快，隐含引力不可能瞬时隔空作用。他创立广义相对论的最急迫原因就是解决万有引力问题，具体方法照搬麦克斯韦尔电磁学，采用偏微分方程组，将时空与物质之间的瞬时作用都局限于每个时空点附近极小区域里，将所有远距离作用都转化为无数本地瞬时作用串联而成，也就是“引力波”。本节模仿从麦克斯韦尔方程组推导出电磁波方程的过程，也选择在真空、和1维空间情况下，基于场方程推导引力波方程。目的是帮读者看透复杂理论背后的思想本质，不追求绝对的严谨全面。
改写(Exp.25)场方程，定义：
真空中时空平坦，就是闵氏时空，但必须允许波在其中转递，所以设置：
其中ημν为闵氏张量，代表平坦的背景时空；hμν代表背景时空的微小扰动。这种设置叫作“微扰法”，在数学里历史悠久。麦克斯韦尔电磁学本身就是线性的，并完全基于微量变化，因此很容易推导出电磁波方程。爱因斯坦在1916 年推导引力波方程，利用微扰法将非线性场方程转化成线性，然后模仿麦克斯韦尔完成任务。微扰法很简单，看似不起眼的数学小技巧，但爱因斯坦把它直接用在时空本身，哲学意义深刻，代表引力波是时空自己波动、不是任何物体在时空中波动，体现广义相对论的革命性观念：时空直接参与物理过程、不再只是物理过程的舞台或背景。
继续简化。真空中没有物质，能动张量Tμν近似为0。物理界实测表明，宇宙常数Λ数值非常小，可以忽略不计。于是场方程变成：
根据(Exp.6)，这正是沿x方向传播、速度为c的波函数方程。所以引力波在真空中的速度就是光速。广义相对论场方程乍看起来非常复杂，却可轻易简化成标准的波函数，为什么这么巧？其实这是人为预设的结果。将引力转化成引力波，是广义相对论的核心目的之一。场方程里的复杂数学细节都次要，只为这样的根本目的服务。如果当前场方程形式(Exp.25)不能推导出引力波方程，爱因斯坦就会放弃它、另选一个。另外，引力波速度为光速c，也是预设好的。洛伦兹因子选择c作为速度的分母，造成爱因斯坦宣布c是宇宙最高速度，然后闵可夫斯基选择用c将时间t转化成新维度ct，以距离单位为标尺，才可能与原有三个空间维度并列，共同构成闵氏时空。广义相对论采用洛氏时空，也采用闵氏4维坐标，继承了新维度ct。在(Exp.31)中，引力波速之所以是c，数学上就是因为ct与x相对应。在任何科学公式里，数学细节只是表象，核心结论往往是科学家们人为预设好的。科学公式是否反映真相，归根结底在于那些人为预设是否反映真相。