简介爱因斯坦场方程 /《相对论里的时空观》之八
C.爱因斯坦场方程
爱因斯坦场方程简称“场方程”、或EFE(Einstein Field Equation)，是广义相对论的数学核心，其实就是一套包括10个等式的偏微分方程组，深藏巨量数学细节。数学是当代科学的唯一可靠语言，讨论广义相对论，不能完全绕开场方程。自物理学扬弃牛顿体系后，也就远离了直觉。当代物理超越人的直觉。很少情况下直觉可以为人带来精准结论，大多数情况下直觉只能帮人理解大概，有些结论甚至不能靠直觉理解。本文希望让读者比较轻松地获得关于相对论的基本认识，所以特别注重直觉，也就无法追求绝对完整精准。场方程如下：
它看似复杂，但基本意义简单。整个等式左侧是个函数，代表时空扭曲。其自变量是gμν及其一阶与二阶微分。gμν代表时空，包含在扭曲宇宙中计算任意两点间任意线路长度的全部信息，名为“黎曼度规张量”，简称“度规张量”或“黎曼度量”，可看成4x4矩阵。直觉上，度规张量的一阶微分代表时空膨胀、收缩、侧切等，二阶微分代表时空弯曲。等式右边Tμν代表宇宙各处的能量与动量分布，名为“能动张量”，包含所有物体、光、真空等的能量与动量，也可看作4x4矩阵。可见，场方程是个二阶偏微分方程组，本应有4x4=16个实数方程，但因gμν和Tμν都对称，所以只有10个独立方程。美国理论物理学家惠勒(John Wheeler 1911-2008)有句名言，全面而简略地总结了场方程的意义，“时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何扭曲”。
度规张量
上段讲到，度规张量gμν包含了在扭曲宇宙中计算任意两点间任意线路长度的全部信息。它究竟如何做到？基本思路很简单：
第一，在任何空间里测量距离，观察者必须首先建立坐标系，并提供每个坐标轴对应的标尺。比如在2维极坐标系中，空间中任一点由(r, θ)表示。其中r需要长度单位，θ需要角度单位，并且要把角度变化转化为长度，还必须乘上相应转换系数，这都是坐标轴上标尺的作用。
第二，爱因斯坦认为时空并非任意几何空间，必须处处“平滑”。在平面解析几何里，平滑曲线代表处处连续可导。平滑的4维洛氏时空也类似，通常需要处处任意阶可导，包括交叉可导。但场方程实际只要求二阶可导。平滑时空有个关键物理性质，在任意时空点附近总可以找到一块极小的平坦时空，在其中狭义相对论和经典几何都适用。但观察者挑选的坐标轴在这个极小范围里可能并不互相正交，所以在其中根据坐标值计算长度时需要广义勾股定理、即余弦定理。
度规张量本质上就是个数据库，储存每一时空点附近极小平坦时空里各坐标轴对应的标尺与坐标轴之间夹角信息。有了这个数据库，计算两点间任意线路长度就变成了标准的积分过程，先利用度规张量计算线路经过的每一点上的极小切线长度，然后沿线路将它们累加在一起。
图29. 常见世界地图。
为理解常人缺乏直觉的4维度规张量，让我们从大家都熟悉的常见世界地图(如上)开始。地图本身就是个2维空间，其中经纬度是地图制作者指定的坐标系，也就是度规张量里观察者选择的坐标系。为正确理解地图，地图制作者还需要提供在每点上沿经度、和沿纬度的两个比例尺，以及经纬线在此点的夹角。这些就是度规张量里的标尺信息。民用地图通常只提供一个比例尺，但这只是图方便的不精确做法。那个比例尺只适用于赤道附近(如B点)，不适用于其他。越接近南北极，比例尺失真越严重，并且纬度线方向(东西)比经度线方向(南北)失真程度更高。对于任意点A，经纬线之间、也就是x与y轴之间不正交，且两轴有不同的实际比例尺。度规张量类似严格精准的地图，提供每一点上每一轴的比例尺与坐标夹角。
距离是任何地图里的核心概念，几乎所有地图信息最后都归于两点间距离。对于2维地图，在任意点A附近极小范围内：
上面等式中系数gμν(x)堆叠在一起，就是度规张量gμν。在每个时空点上，它是个4x4矩阵[gμν]；对角线元素代表相应维度上的长度标尺，类似地图比例尺；非对角线元素代表两维度之间的关联程度，类似地图上经纬度之间夹角。如果两个维度正交，相应非对角线元素为零。因为距离与测量顺序无关，从A到B与从B到A一样，所以度规张量天然对称。广义相对论里的数学表达式经常冗长繁复，所以如何表达是个大问题。为方便起见，坐标轴经常不写成(ct, x, y, z)，而用x加上标代替。“度规”译自metric，意思是“标尺”。度规张量类似精准地图，但二者之间有个根本区别。地图再精准，也只描述地球，本身不是地球。但度规张量里的数学就是时空本身，背后没有另一个实体。
能动张量
能动张量也对称，类似度规张量。其中第一个元素T00较常用，代表该时空点周围极小区域内的总能量密度。其他元素可以理解为4维动量的密度与通量，并且每个元素都有两种物理意义。比如对角线元素既是空间动量通量、也是压力。以T11为例，它首先是x方向上单位面积、单位时间里的动量变化；而单位时间里的动量变化就是力，所以T11同时也是x方向上单位面积的力，即x方向上的压力。但不像度规张量，即使维度之间正交，能动张量中的非对角线元素也不一定为0。比如闵氏时空的各维度之间都正交，但当一束光沿x轴经过该时空点时，T00与T01都不为0，因为该处不仅有能量密度，还有沿x方向的能量通量和动量密度。
能动张量里每个元素都是能量或动量的密度或通量。密度与通量类似，都是对时空的三阶偏微分。通量就是在单位时间里、单位面积上通过的某个物理量；密度就是单位体积里的某个物理量。它们定义为：
场方程的关键含义
1. 没有引力，其他力也都变得次要。牛顿物理只研究物体，力是基本概念之一，不可或缺，代表物与物之间相互作用，功、能量、动量等概念都基于力、速度、质量等。但广义相对论研究物与时空如何互相作用，这种作用不是力。爱因斯坦发现，时空与物质彼此配合，前者调整自己的几何、后者调整自己的分布，以满足一套微分方程组。其中物质由能量与动量代表。力可定义为动量变化率，只是个衍生概念。但“引力”早已深入人心，所以讨论相对论时，物理学家们依然经常使用这个名词，比如引力场、引力波等，都指代时空变化，不再是真正的力。
2. 牛顿认为时空优先于物体、物体依赖时空；莱布尼茨倒过来，认为时空依赖物体、物体优先于时空。爱因斯坦在广义相对论中实现否定之否定，超越两位前人，认为时空与物体互相影响，共同决定宇宙状态，地位大致平等。二者地位“大致”平等、而不完全平等，因为在没有任何物质的情况下(Tμν = 0)，假设宇宙常数为0，平坦时空依然满足场方程。至少在数学上，宇宙可能只有时空、却没有任何物质。但宇宙不可能只有物质、没有时空。场方程根本无法描述时空不存在的情况。这蕴含时空可能优先于物质。但当代宇宙学认为，自诞生起宇宙从没发生过只有时空、没有物质的情况。
在构思广义相对论的漫长岁月里，爱因斯坦深受马赫思想的影响。后者延伸莱布尼茨的相对时空观，主张物体的惯性源于宇宙中所有其他物质的分布。爱因斯坦原以为场方程将实现马赫的基本想法，即没有物质就没有惯性或时空，简称“马赫原理”。但是他和其他一些科学家很快发现场方程允许真空解，甚至在宇宙常数不为0时也存在真空解，于是物理学界认识到广义相对论允许时空独立于物质而存在，与马赫原理不兼容。
3. 时空一体、不可分割。在牛顿物理中、或在日常生活里，时间与空间泾渭分明，从来不可混为一谈。但闵可夫斯基发现时间与空间本质一致、可以合并在一起，因此提出一体化的4维时空理念。爱因斯坦非常认同，在晚年曾感叹，“当非专业数学家听说4维事物时，便会产生神秘的战栗感，与巫术或玄学在人心里唤起的感觉类似。但是我们所处的世界确实是个4维时空连续体，这点非常直白和简单”。闵氏首创的4维时空超越人的经验与直觉，不在现实世界里，而属于彼岸世界。
但是爱因斯坦的意见并非始终一致。在闵氏时空刚问世时，他嗤之以鼻，私下里对朋友嘲笑说，“自从数学家们开始研究相对论之后，连我都搞不懂相对论了！”昔日老师们的负面评价害得自己大学毕业后长期找不到工作、只得委身于专利局，大概那时的爱因斯坦还耿耿于怀。但创立广义相对论后，他态度大变，写道，“如果没有闵可夫斯基提出的关键几何理念，广义相对论……大概早胎死腹中了”。广义相对论是人类迄今为止对宏观物理最深刻的理解，严重依赖闵可夫斯基的时空一体化理念。