数学命题为什么需要证明才能成为定理

什么需要证明才能成为定理

导读

?AI导读带你速览精华

数学命题的证明是寻找并验证因果关系的过程，必须通过正确的演绎推理（如三段论AAA格式）确保其有效性。错误的证明格式（如IOA）或归纳法无法确立真理，因为数学真理需要必然的因果关系，而非或然性推理。

数学命题为什么需要证明？从来没有人正式谈过这个问题。

科学研究就是为了寻找事物因果关系，一个结论得出以后需要别人重复，重复的目的就是验证因果关系。数学命题证明就是找到因果关系并且验证这种关系。

科学的特征就是可重复性（例如物理学-化学实验等），之所以可以重复，就是因为确定它们的因果关系。

数学命题证明是溯因推理，溯因推理是从结果追溯原因的推理，是采纳假说的推理。是确定因果关系的检验。溯因整理成为一个命题叫做猜想（证明一个猜想是告诉你结果，让你按照规则找出原因-过程的必然性，把道理讲清楚）。

证明需要演绎推理中正确的三段论格式

数学定理都是全称判断，全称肯定判断的命题证明必须是三段论AAA格式。

必须找到一个概括了所有的元素属性的定理或者公式作为大前提，如果找不到，就无法通过演绎证明。

如果找不到，数学家们就胡来了。

例如一，安德鲁怀尔斯证明费马大定理：

https://bbs.aboluowang.com/thread-1116176-1-1.html

1，假定有一个否定费马大定理的反例解

（特称判断I）。

2,这个反例不存在（否定判断O）。

3，于是证明全称的费马大定理成立(全称肯定判断A)。

以上是错误格式IOA。

根据三段论规则，前提中有否定判断，结论不能是肯定的。前提中有特称判断，结论不能是全称的。而全称肯定判断的结论只能来自第一格AAA。

IOA格式这种证明不能确定因果关系，因为大前提是假设的，又被小前提证明是不存在的，这种虚构并且不存在的前提所以是无效的。

例如二，迈克尔阿蒂亚证明黎曼猜想也是这种错误。

例如三，张益唐证明黎曼猜想问题“朗道-西格尔零点”也是这种错误。

例如四，王虹-扎尔证明挂谷猜想也是这种错误。

上面谈到为什么必须是AAA格式，而不能是IOA格式，因为后者改变了证明条件，条件一旦改变，就不一定是真理了。

例如，最速降问题，小铁球在曲线下降速度比直线快，空气阻力忽略不计。如果是在水中比赛，或者在饱和盐水中比赛；如果不是铁球而是塑料球，距离远的曲线就因为阻力更大而比近距离的直线慢。（两个相同的塑料球在盐水里比赛，速度与距离会发生改变）。

证明需要演绎证明，不能是归纳法证明

因为数学是研究数量-空间结构-数量和空间结构的变化，我们面对的情况是复杂的和变化的，常常需要从一个时空到另外一个时空，从一个命题推出另外一个命题，从一个判断中得到另外一个判断。

我们从已知命题推断出未知命题的行为叫推理，已知命题叫前提，未知命题叫结论。我们证明一个结论的系统化行为，叫做论证。

逻辑就是确保这些推理和论证能够有效的规则。逻辑学就是研究这些有效推论和论证规则与标准的学科。

逻辑为有效性推理提供了合法性，逻辑的合法性即逻辑起作用的底层原理是什么？

逻辑的本质内涵是：通过老概念理解新概念，通过已知命题来推断未知命题。从老范畴中得到新范畴。

逻辑本质是处置我们心智中的问题和扩大我们的认知范围。

这种扩大有三种有效路径：

1，演绎推理，就是从大范畴中找到小范畴的推理；前提与结论是蕴含关系。得出的结论是必然判断。

2，归纳推理，从众多小范畴中找到大范畴的推理；

3，类比推理，在相似的范畴之间找到共性的东西和不同的东西。

我们借助从老命题引向新的命题-从已知引向未知的。

只有演绎推理形式是必然有效的，因为大范畴的存在，是小范畴存在的充分条件，所以，演绎推理是必然的因果关系推理。

而归纳和类比推理不是，逻辑上也不会用有效性与否来评价这两类推理，只会说归纳强度和类比的可接受性。所以也叫或然性推理。

数学定理不能是或然判断。数学归纳法产生的不是定理，因为归纳无法归纳出未知元素的属性。

归纳是在一个有穷大的样本中逐一列举, 只要样本空间没有被穷尽, 使用的都是简单枚举归纳推理。例如哥德巴赫猜想的产生：原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一归纳有限的样本，具有某种性质（两个素数之和），于是归纳推出“哥德巴赫猜想”，推导出数量有无穷多个偶数的样本也具有某种性质），如果再用归纳法证明，好比归纳了两次，只能增加命题的可信度，不能证明整个命题有效。

对于无穷大的样本, 我们根本不可能穷尽该样本空间, （例如哥德巴赫猜想中的偶数就有无穷多个）因此只能使用简单枚举归纳推理，简单枚举归纳推理是一种扩大前提的推理, 它的结论是不可靠的。（我们中学里介绍的数学归纳法，对于1成立，n成立，n+1也成立，也仅仅用于恒等式，恒等式没有属性。归纳法不能用于定理的证明。）

就是说，数学命题证明必须是正确的形式--演绎法和演绎法中正确的格式。

最后告诉大家，全世界几乎99%的数学定理都是使用错误的归纳法证明的，或者错误的格式证明的，都是无效的。哪里有象现在这样，每一年产生20万条所谓“定理”。

真理的产生是非常困难的，成本是巨大的；需要大量的错误作为铺垫，需要漫长的时间试错，数学两千年都没有迈过逻辑障碍。