“难题”（3）-- 意外的惊喜（解答）

有一个椭圆

x² + 9y² = 81

 椭圆外有一点（27，3）。从这点向椭圆作切线，求这两点的斜率。

出题老师手下留情，y=3显然是其中一条。另一条对我来说有点头痛。

不知道算不算提示，这题是在教授隐函数求导以后。

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我知道自己能解出这题，但用什么方法最好，我真的不知道，即使40多年前上大学时候估计都要花好多时间。思考良久（真的），我抱着试一试的想法，试了这个方法。

前面说过，这题是在教授隐函数求导以后。椭圆方程（不要和费马大定理中的椭圆函数混肴）两边对x求导，

2x + 18yy’ = 0 è y’ = -x/9y

椭圆上任何一点（x，y）都是这个斜率。

我们将点（x，y）与（27，3）连接，直线的斜率为

(y – 3)/(x – 27)

如果这点正好是切点，两个斜率就必须相等。

-x/9y = (y – 3)/(x – 27)

交叉相乘去分母，

-x(x-27) = 9y(y-3)

è 9y²-27y+x²-27x = 0

è (9y²+x²) – 27y - 27x = 0

è 81 – 27y – 27x = 0 è y = 3 – x

将这个简单关系代入椭圆方程

x² + 9(3-x)² = 81 è 10x² - 54x = 0 è x=0 或者x=27/5

x=0就是那条y=3的水平线。从方程得知当x=27/5，y=±12/5。

目测可知，我们必须取负号，y=-12/5。代入前面得到的斜率，

y’ = -x/9y = 27/108 = 1/4

结果太简单，我有些害怕，就又代入那条直线方程，结果确实一样。

以我的老习惯，我就开始想，如果老师在椭圆外任取一点（c，d），结果会是什么？

假定现在椭圆方程为

x² + a²y² = b² (a>1)

从（c，d）向椭圆引切线，斜率是什么？

y’ = -x/a²y

(y – d)/(x – c)

è -x/a²y = (y – d)/(x – c)

è -x(x-c) = a²y(y-d)

è a²y² – a²dy + x² – cx = 0

è (a²y²+x²) – a²dy – cx = 0

è b² – a²dy – cx = 0

所以xy之间的关系还是非常简单，但是将这个（x，y）关系代入椭圆方程后，所得到的xy值就很复杂了。

这个问题以前肯定碰到过，但是被想象中的xy复杂关系给吓退了。40多年后发现切点的xy关系是如此简单，可算是意外惊喜了。