“难题”（2） -- 鸡还是蛋 （解答）

图中给出四条曲线，abcd，分别是函数 f(x) 及其一阶、二阶、及三阶导数。如何把它们一一找出来？

我们不妨把函数和导数看为鸡和蛋的关系，有两条线既是“鸡”又是“蛋”。我们先要把“纯鸡”找出来，再找出这鸡生的蛋，蛋孵出了鸡又生蛋。。。我们也可以先找“纯蛋”，再看是哪个鸡孵的。

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一开始我想来点小聪明，对比两条曲线的“DNA”，看看哪个是鸡，哪个是蛋。没多久，下面的例子给了我当头一棒。

首先入选的是“a”和“b”，好像都有可能是另一位的鸡或蛋。考虑f(x)=exp(ax)，a>0。如果a>1，在右半平面，导数在函数上面。如果a<1，导数在函数下面。曲线都是定性绘制的，根本看不出来。

我们从另一个角度考虑，哪条线不可能是蛋，不可能是这儿的鸡生的“蛋”。这样一来，我们的注意力马上集中到“d”。“d”有四个区间（-，+，-，+）。“a”和“c”的导数只有两个区间（-，+）。“b”的导数是（+，0，+）。这三个“鸡”均无法生出“d”这个“蛋”。所以“d”只能是“鸡”。如此一来，其余的就好解决了。显而易见，“c”是“d”的导数。“c”的导数只能是“b”。“a”是“b”的导数。因为是唯一选择，就不存在一开始提起的猜的问题。“d”是“鸡”，“a”是“蛋”，“c”和“b”既是“鸡”又是“蛋”。

我们现在考虑了哪条线不可能是蛋。我们也可以可虑，哪条线只能是“蛋”，或哪条线不能是“鸡”，或哪条线只能是“鸡”。

难题（1）中提到的数学老师上课时曾经强调，微分（导数）是构造性的，只要有耐心和细心，理论上总可以找到正确答案。积分就不一样了，是非构造性的，经常无解。实际上数学手册中列举的可积函数只是沧海一粟而已。

这道题显然是非构造性的，一团乱麻。但是如果老师告诉你哪个是“纯鸡”，即f(x)，或哪个是“纯蛋”，即f(x)的三阶导数，问题就一下子容易得多。

在日常工作中，大部分问题是构造性的，照菜单操作即可。可是在科研工作中，大部分问题是非构造性的。这道理大概是非常显而易见的。