古希腊的几何及其影响
公元前540年，毕达哥拉斯学派发现了无理数，几十年后埃利亚学派的芝诺又提出悖论。这些事件动摇了毕氏学派所尊崇的算术（整数）基础，引发了第一次数学危机。之后，几何在古希腊数学中的地位被大大提升，从而有利于逻辑推理的发展，最后，欧几里得总结前人的成就，建立了第一个公理化体系。古希腊不愧为数学的发源地，几何之故乡……
1，柏拉图的贡献
苏格拉底、柏拉图和亚里士多德并称为希腊三贤，其中与数学发展最有关联的是柏拉图（Plato，公元前429年－前347年）。柏拉图在发展几何及古希腊数学上，有举足轻重的的贡献。这并不是说他在几何或数学研究中取得了多么杰出的学术成果，他的功劳是表现在以下两个方面。
希腊三贤
一是他所建立的柏拉图学院，吸引了当年大批的顶尖人才，他们以柏拉图为核心形成一个学派，称为柏拉图学派。这是西方最早的高等学府，后世的高等学术机构也都使用“学院Academy”这个名字。
在柏拉图指导下，学院的数学教育取得了极大的成功，因为学者之间需要经常进行讨论或交流，而学院正好为交流活动提供了场所，因此，柏拉图学院逐渐成为研究哲学、数学等科学的中心。
传说柏拉图学院的门前，镌刻着一句名言：“ 不懂几何者勿入”！
其中最杰出的数学家包括创立比例论而解决了“不可通约量”的欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前408年－前355年）等人，以柏拉图学派弟子命名的数学定理和计算方法有很多。据说欧几里得（公元前300左右）早年也曾在学园攻读过数学，他的《几何原本》中的大部分内容都是来源于柏拉图学派数学家的研究成果。
柏拉图数学贡献中的第二点，表现在他的名著《理想国》一书中。他把逻辑思维方法引入几何。书中的第6篇，谈及了数学假设和证明。柏拉图将算术、 几何、天文等列为主要数学分支，认为这些是哲学家的必备知识， 这显而易见地强调了数学（尤其是几何）的重要性。
柏拉图企图使天文学成为数学的一个分支。他认为：“天文学和几何学一样，可以靠提出问题和解决问题来研究，而不用去管天上的星界。”
柏拉图企图用数学方式来解释宇宙。他设想宇宙万物由五种正多面体组成，分别对应于五种元素。正四面体代表“火”，正八面体是“气”，正二十面体是“水”，立方体是“土”。正十二面体是组成天上物质的“以太”。
柏拉图多面体
柏拉图对于几何学的崇尚，到了极端的程度。他认为“上帝创造世界时，用的正是几何法则”、“从已知的假设出发，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的结论。”这些名句广为传播，使演绎推理在学园里盛行。
2，几何大师
柏拉图强调演绎和推理，不需依赖经验的抽象性，带有一定的公理化色彩。 这种对后来的欧几里得和阿基米德都有很大影响。
欧几里得（Euclid，前325年－前265年）被称为“几何学之父”。他活跃于托勒密一世时期的亚历山大里亚，也是亚历山太学派的成员。他在著作《几何原本》中提出五大公设，成为欧洲数学的基础。
欧几里得生平资料流传到现在的很少，画像也都是后来的画家凭着想象创作的。但他公理化的几何流传极广，进入世界各国的教材。欧几里德约公元前300年著《几何原本》，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范。
欧几里得和《几何原本》
有些研究者认为其实没有欧几里得这个人，一般认定是他所写的作品其实是一群数学家（柏拉图的学生：欧多克索斯、泰阿泰德及欧普斯的腓力等）以欧几里得为名所写。不过大家都将这些归于“欧几里得”名下。
在欧几里得的推动下，数学（几何）逐渐成为人们生活中的热门话题，以至于当时亚历山大国王托勒密一世赶时髦，也想学点几何，但他学得很吃力，问欧几里得讨教“学几何有无捷径？”欧几里得回答：“在几何学里，没有专为国王铺设的大道。”
欧几里得几何从几条公理出发，靠逻辑推理证明其它的命题和定理。所谓“公理”，指的是不证自明，经过人类长期反复实践的考验的基本事实。
欧氏平面几何的5条公理（公设）：1，过两点可作一条直线；2，线段可无限延长；3，以任何点和直径可以画圆；4，凡直角均相等；5，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
古希腊不愧为是“几何之乡”，他们出了欧几里得这位几何大师。之后的阿基米德（公元前287～前212年），更是一位物理、数学、天文之全才。阿基米德也曾活跃于亚历山大里亚，他确定了大量复杂几何图形的面积与体积，给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，其中隐含了一千多年之后才产生的“积分论”思想。
古希腊不仅数学人才辈出，还为人类留下了“平行公理”之疑惑以及“古希腊尺规作图三大数学难题”，前者导致非欧几何的出现，后者的解决扩展了代数领域。因此，古希腊几何对近代数学的发展影响巨大。
3，非欧几何
欧几里得的五条公理中，人们对前4条都没有异议，唯独第五公理（平行公理），看起来颇似定理。在几何原本中，平行公理到证明第29个命题时才用到。之后也不太用。许多人就怀疑是不是可以用4个公理就够了，也许可以将平行公理证明出来？
因此，数学家们折腾来折腾去，对平行公理讨论、质疑、研究了两千多年。这其中有古希腊的波希多尼 (Posidonius)、2 世纪的著名学者托勒密、五世紀的Proclus等。一千年后的大数学家勒让德Legendre，也迷上了平行公理达二十年之久，对第五公理给出了许多证明。当然，这些证明都是错误的。
直到1824年，俄国数学家罗巴切夫斯基，提出一个和欧氏平行公设相矛盾的命题，代替第五公设，结合前四个公设成公理系统，展开推理。得出许多违背常理、莫名其妙的结果：比如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交等。如此建立了一套与欧氏几何平行的几何体系，后人称之为罗氏几何。
匈牙利数学家鲍耶也发现了第五公设不可证明和非欧几何的存在。鲍耶在研究过程中遭到了家庭、社会的冷漠对待。在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
高斯也研究非欧几何，发现第五公设不能证明。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表，也不敢站出来支持罗巴切夫斯基等，罗巴切夫斯基遭讽刺打击郁郁而终，到死也没能看到自己的研究成果被学界公认。
在罗巴切夫斯基死后12年，1868年，意大利的一个数学家贝尔特拉米(Beltrami)发表了一篇论文“非欧几何解释的尝试”，详细的叙述了非欧几何的体系，证明了非欧几何的存在，给出了罗氏几何的直观解释．表明罗氏几何应该与负常数曲率的曲面（如双曲面）的几何相符合。
欧氏几何、罗氏几何、球面几何中的三角形内角和（点击图像观视频）
之后，又有了将平行公设作不同改变而产生的黎曼球面几何。这三种几何分别适用于平面、双曲面、和球面（分别对应于上图的左、中、右），但它们被建立的过程却是根据改变平行公理后用逻辑推理方法得到的。以下总结一下三者平行公理之不同：
欧氏几何的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。
罗氏几何的平行公理：过直线外一点至少有两条平行线。
球面几何的平行公理：过直线外一点没有该直线的平行线。
三种几何各自都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性、独立性，因此这三种几何都是正确的。
日常生活中适用欧氏几何；在宇宙空间或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面航海、航空等实际问题中，球面几何更为准确。
与欧氏几何不同的罗氏几何和球面几何
之后，黎曼统一了以上三种几何，结合微积分于流形之上建立了黎曼几何。并且预见，物质的存在可能造成空间的弯曲。为爱因斯坦的广义相对论准备了数学基础。从古希腊几何发展到黎曼几何，再用于相对论，可见其对科学影响之巨大。
4，古希腊三大作图难题
古希腊留下了三大几何作图难题。两千多年后，欧洲出了几位少年数学天才（见下图），其中两位因群论的建立以及他们的早逝而广为人知，阿贝尔贫病交加而死，伽罗瓦21岁时与人决斗死与非命。解决尺规作图难题的，是图中右边的旺泽尔。旺泽尔活得也不长，34岁便英年早逝了。他研究过五次方程的根式解，并第一次给出三大难题中“三等分角”、“倍立方”问题的不可能性证明，但他的工作被忽略了近一个世纪。
尺规作图是古希腊人提出的一种平面几何作图方法。指的是只能有限次地使用圆规和无刻度直尺，解决平面几何作图题。
三大难题（见下图）是：
1，倍立方：用尺规作图的方法作出一立方体的棱长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍
2，三等分角：将任意给定角三等分。
3，化圆为方：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。
旺泽尔用代数的方法来解决几何问题，于1837 年证明了不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，旺泽尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，或称可造数（constructible number）。意思便是指用圆规（规）直尺（矩）可以（造）出来的数。
可以证明，尺规作图可作的几种操作，对应于代数中的加减乘除加开方运算，即包括平方根、四次方根、八次方根...等2^n次方根。因此，规矩数的集合比有理数大，比实数小。可以将有理数域扩大而得到。下面是规矩数和非规矩数的例子：
规矩数的集合仍然是一个域，因此可用尺规作图后产生的新数是否是规矩数来判定其可能性。而旺泽尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。此外，因为规矩数中不包括三次方根，而倍立方问题就是要用尺规作图作出2开三次方的线段，所以也无解。
最后，规矩数是一种代数数，不包括不能表示为代数方程之解的超越数。而化圆为方问题的本质就是要用尺规作图作出长度与p开方有关的线段， 1882年，数学家林德曼证明了p为超越数，因此也证实了化圆为方问题的不可能性。
回味三大难题2000年之后才被证明的过程，古希腊几何对数学发展的作用不言自明。
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