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跑马圈地的效率

发表时间：2020-11-05 13:21

三角形的围率问题

雨斤

平面几何图形的面积与周长之比，通常被称为“围率”。有人也戏称其为“跑马圈地的热效率”。因为你骑马跑的路程越长，马流的汗越多，圈的地就应该越多。

围率 = 面积/周长

从地图上看，在中国的34个省份中，围率最低的恐怕要数甘肃省了。

只有一个参数的图形，围率很好计算。比如，圆形的围率是其半径的一半；正方形的围率是其边长的四分之一。因此，围率等于1的圆形只有一个：当半径等于2时。围率等于1的正方形也只有一个：当边长为4时。

利用丢番图方程求解可以得知，非正方形（长宽不等）的矩形，围率等于1的也只有一个：当长宽分别为6和3时。

三角形的问题就不是一目了然的了。

为简便计，我们只考虑边长为正整数的三角形。

思考题一

在三条边的边长均为正整数的三角形中，有没有哪个三角形的面积等于它的周长？如有，有多少个？是无限多个，还是有限多个？如果是有限多个，请列出每一个的边长和面积。

请证明你的结论。

思考题二

在三条边的边长均为正整数的直角三角形中，有没有哪个三角形的面积等于它的周长？如有，有多少个？是无限多个，还是有限多个？如果是有限多个，请列出每一个的边长和面积。

请证明你的结论。

答案稍后公布。

海外原创，版权所有，未经作者雨斤同意, 请勿转载！

当前共有21条评论
雨斤回复 gugeren：
10:58
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gugeren：
22:26
(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17)
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gugeren 回复雨斤：
20:37
先谢谢雨斤兄了！
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雨斤回复 gugeren：
19:49
一个小提示：
4(x+y+z) = xyz, 假定 x<y<z (小于或等于，符号打字打不出来)
然后逐一考虑x = 1, x = 2, x = 3 ; 。。。
很容易证明当 x > 2 时，上述丢番图方程无解。如此，只剩下求解

4+4(y+z) = yz (1)
4+2(y+z) = yz (2)

(1)有三组解(三个非直角三角形)，(2)有两组解(两个直角三角形)。

思考题一的答案：共有五个三角形的面积等于周长。
思考题二的答案：共有两个直角三角形的面积等于周长。

周末愉快！

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gugeren 回复 gugeren：
19:04
题的第一部分的进一步的结果：
三条边长之和是12的倍数【需证明是3的倍数】；
而且
1】其中一条边长是偶数，其余两边边长是奇数；
或
2】三边边长都是偶数。
三边边长之间的关系还需发现。

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gugeren：
10:40
题的第一部分的初步结果：
1】三条边长之和是4的倍数；
或
2】其中一条边长是2的倍数，其余两边边长是奇数；
或
3】三边边长都是2的倍数。

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雨斤回复 gugeren：
09:01
(9，10，17)
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gugeren：
08:54
【修改和补充第一部分证明】

令p=s-a,q=s-b,r=s-c，有
p*q*r=4s，p+q+r=s，即p*q*r=4(p+q+r) (1)
利用算术平均与几何平均之间的关系，有
(4p*4q*4r)^(1/3) ≤ 1/3(4p+4q+4r)，(2)
或
64(p*q*r) ≤ 64/27(p+q+r)^3 【即对(2)两边都取立方】(3)
或
(p*q*r) ≤ 1/27(p+q+r)^3 (4)
已知(4)当且仅当p=q=r时，等号成立，即
s-a = s-b = s-c，或a=b=c。
但当a=b=c时，三角形为正三角形，其各边长都是4√3，不符合题意。

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雨斤回复 gugeren：
08:14
好，这下对了。佩服兄的韧劲！

下面该考虑一般情形了。

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gugeren 回复雨斤：
07:58
哈，临门一脚有错：
由勾股数（a,b,c）的性质：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E6%95%B0
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Generating_a_triple
可写作 (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)的形式 (m>n) (1)
可使得
a^2 + b^2 = c^2 (2)
又据题意有
a+b+c=a*b/2 (3)
把(1)代入(3)，并化简，得
n(m-n)=2 (4)
故
1】n=1,m-n=2，故m=3, n=1，得到(a,b,c)=(6,8,10);
2】n=2,m-n=1,故m=3,n=2，得到(a,b,c)=(5,12,13)。
即有上述两种情况：
(a,b,c)=(6,8,10)，(5,12,13)。

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