真理有时候在学生手里

人类该不该讨论无限？

雨斤

数学史上许多有争议的讨论，很快就上升到了哲学的高度。这是因为数学的本质，就是一种“应用哲学”（Applied Philosophy）。数学距离哲学，只有一步之遥，一墙之隔也。·怪不得牛顿晚年去干这事儿

数学史上，数学家们争吵的事情层出不穷，有些争论甚至闹出了人命。√2的发现，让聪敏的希腊小伙子希帕索斯丧了命，被自己的老师毕达哥拉斯派人装进袋子扔进了大海。这无疑是数学史上最早的一桩人命案。·被老师扔进海里的人

牛顿的“无穷小”概念，让数学家们打闹成了一锅粥。大主教贝克莱，曾把牛顿的“流数”攻击得体无完肤，称之为“已死量的幽灵”。在牛顿的文章中，这个“幽灵”一会儿是0，消失了；一会儿又不知从什么地方冒了出来。贝克莱质问：“无穷小量，究竟是否为0？”因为在牛顿的描述里，无穷小量在当时的实际应用中，既是0，又不是0。但从形式逻辑的角度看，这无疑是一个矛盾。直到后来柯西(Cauchy)等人，特别是维尔斯特拉斯(Weierstrass )，发明的“δ-ε”语言，才给了“极限”概念一个严格的定义。

再后来，康托尔（Cantor）的“朴素集合论”则把数学又一次推向了争论的深渊。

众所周知，一个有限集合有多少元素，不成问题。例如一个班级有多少人？班级的人数成为这个班级的“基数”或“势”，任何有限集都可以数出它的元素个数来。但是，如果问自然数有多少个？有理数有多少个？实数有多少个？谁能回答出来呢？康托尔的目的，就是要给这样的集合（也叫无穷集、无限集）进行“计数”，并且进而比较不同无限集合中元素的多少。如果你没有学过集合论，估计你回答不了这样的问题：“有理数集合与自然数集合，哪个集合所含的元素更多？”答案是：一样多,都为。呵呵，有点不可思议了吧？

集合论虽然已然成了现代数学的基石，但康托尔本人却经受了难以想象的煎熬。康托尔的老师克朗涅克尔(Kronecker)就猛烈攻击康托尔的工作，并竭力阻挠康托尔的晋升，不让康托尔在柏林大学获得职位。朗涅克尔说：“康托尔让数学走进了超穷数的地狱。” 

克朗涅克尔有一句名言：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作。”他认为，人只能在正整数的有穷范围内研究。至于无穷的世界，则完全超乎人类的能力之外。他甚至不承认康托尔为他的学生。无休止的争吵使得康托尔心力交瘁，精神终于崩溃，于1918年1月6日在哈尔精神病疗养院逝世。唉，又是老师惹的祸！看来，不但“真理有时候在少数人手里”，而且“真理有时候并不在老师手里，而在学生手里”！

事实上，同样的观点，早在东周时的老子，也曾表达过。“道生一，一生二，二生三，三生万物”出自老子的《道德经》第四十二章，这句话其实就是老子的“宇宙生成论”。

老子李耳本是周朝的史官，负责图书馆、收藏室的工作。当时的收藏室相当于国家图书、档案、博物、珍宝等馆的综汇。不但收藏周武王前后的书籍、史料、珍宝，还收藏一百多个大小诸侯国的历史记载、上古遗书，各国的供奉，以及有关各氏族渊源的记载，大禹所制的九鼎和夏商遗物等。从事这份工作，使老子得以便捷地成为当时饱学多识的，“百科全书”式的人才，厚积薄发，为其日后写作《道德经》打下了严实的基础。

这里老子说到“一”、“二”、“三”，乃是指“道”创生万物的过程。主要讲述了一、二、三这几个数字，并不把一、二、三看作具体的事物和具体数量。它们只是表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程。所以，《淮南子·天文训》说:“道(曰规)始于一,一而不生,故分而为阴阳,阴阳合和而万物生。故曰:一生二,二生三,三生万物”

譬如下面这个序列，表面上看，和圆周率没有丝毫的关系。但是，列位看官可试试看，它的答案会让你大吃一惊。

思考题

设a₁,a₂,a₃,...,a_n,...是一个正实数的数列，已知 ：

a₁a₂ = 1

a₂a₃ = 2

a₃a₄ = 3

...

a_na_n+1 = n

...

并且，lim(a_n/a_n+1) = 1，求a₁ = ? 

欢迎列位看官跟帖作答。答案稍后公布。

恶心她妈夸恶心，好恶心！

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