解道幼河提供的数学逻辑题

解道数学逻辑题

  博主幼河在《五味斋》发了个数学帖子据说是美国中学生竞赛题目。孤家闲来无事，便解了一下，再看他文中间和他人回帖的解法，多有不同，便贴出来，第一至第五次成绩的求解是孤家自己做的附加题，只是吾未检查，不知道有错否。

  小明考了7次测验。每次成绩不同，都在91到100之间（包含）。都是整数。他每次考后都计算平均分，也都是整数。他的第7次测验是95分。求他的第六次的测验成绩。

解：

因为七次考试的分数都是整数，在91到100之间，即每次考试成绩都在90分以上，故将每次成绩的尾数记为1~10。

根据题的条件，成绩每次都不重复；每次考试后计算出的平均分也都是整数。

Sum ni/7=(1+10+5+n..)/7=2+(2+n.. )/7 

(n..表示另外4个成绩)，

因为成绩每次都不重复，在余值内，其和30>n..>14, 即7次成绩的尾数为5或6。

或可设7次平均成绩的尾数为n，则 (7*n-5)/6=n+(n-5)/6， 显然只有n＝5时，平均成绩为整数，即7次平均成绩为95。

由于 [(Sum (n1~n7)-5]/6 为整数，故7次成绩的尾均数仅可为5，可推知前6次尾均数也为5，其总和为35-5=30,而前5次成绩之和(即30-n6)必然是5的倍数，尾数5已经可以排除，仅剩下10,故第六次测验成绩必为100分。

而要推知前5次具体成绩，则会出现多解。

[(Sum (n1~n5)-15]=20 其均数为4， 可能的组合只有1、2、4、6、7和1、2、3、6、8。

[(Sum (n1~n5)-n5]/4 为整数，故n5为4 or 8, 推知(Sum (n1~n4)/4 为4 or 3，。

[(Sum (n1~n4)-n4]/3 为整数, 当n5为4时，由（16-n4)/3 推知n4为7 or 1,前三次成绩的尾数组合分别为2、6、7和1、2、6；

同理，由n5为8，（12-n4)/3 推知n4为6 or 3，前三次成绩的尾数组合分别为1、2、3和1、2、6.

因为前两次成绩平均为整数，故其尾数为双偶数或双奇数，即当n5为4时，前两次成绩尾数为2和6组合，第三和第四次成绩尾数则为1和7组合。

当n5为8，n4为3时，前两次成绩尾数为2和6组合，第三成绩尾数则为1；

当n5为8，n4为6时，前两次成绩尾数为1和3组合，第三成绩尾数则为2。

即第五到第一次考试成绩依次为：

94、97、91、92、96；

94、91、97、92、96；

94、97、91、96、92；

94、91、97、96、92；

98、93、91、92、96；

98、93、91、96、92；

98、96、92、91、93；

98、96、92、93、91。

其实在解题过程中，后面几次的平均成绩就已经知道了，即前七次和前六次考试的平均成绩都是95，而第五次时平均成绩为94，第四次时平均成绩为94或93。

现在将前五次，每次考试后的平均成绩列下：