【数学】实用的拉丁方

发表时间：2017-05-25 10:53

【数学】实用的拉丁方

提起拉丁方（Latin square），做过药物实验设计的网友应该对它不陌生。

拉丁方（阵）是一种 n × n 的方阵。在这种 n × n 的方阵里，拥有 n 种不同的元素，每一种不同的元素在同一行或同一列里仅出现1次。

【图1：拉丁方】

实际上，人们在实际生活中使用的，是拉丁方的一种特殊形式，称“正交拉丁方（orthogonal Latin square）”。

正交拉丁方，学名是“希腊拉丁方（Graeco Latin square）”。这样的拉丁方内，至少由2个不同的字符、颜色或字体等组合成为方阵内的每个元素，而且没有同样的元素组合会出现在同一个拉丁方内。

【图2：正交拉丁方】

正交拉丁方可用于科学实验的设计和体育赛程的编排。

欧拉在研究了拉丁方以及正交拉丁方以后，他证明了：

1】不存在2-阶正交拉丁方。

2】当n为奇数，或n为4的倍数时，存在正交n-阶拉丁方。

3】剩下则是2倍奇数阶的正交拉丁方：6, 10, 14, 18, ...。

可以看出，欧拉解决了所有自然数阶的正交拉丁方的四分之三的内容。

由于欧拉费尽心机制作不出6阶的正交拉丁方，他推测不存在6阶的正交拉丁方，从而又引申出不存在所有的3】的情况。

但是，这次欧拉的猜测是错误的。

1901年，法国数学家Gaston Tarry（1843-1931）证明了6阶正交拉丁方不存在。

1960年，3位美国数学家Ernest Tilden Parker（1926-1991），Raj Chandra Bose（1901-1987）和Sharadchandra Shankar Shrikhande（1917-）证明了存在除了6阶以外的所有2倍奇数阶的正交拉丁方。

更加复杂的正交拉丁方还有：

相互正交拉丁方（Mutually orthogonal Latin squares）

【图3：Mutually orthogonal Latin squares】

相关链接：

拉丁方：

正交（希腊）拉丁方：

相互正交拉丁方：