一维乌龟二维狗，芝诺刻舟渔翁瞅

紫荆棘鸟博主的《芝诺悖论解决了吗？》一文，在万维引起热烈讨论，从数学，物理学，逻辑学到哲学，不一而足。作为一个围观者，我经历了从不懂却自以为懂，到似懂非懂，到彻底看不懂的心路历程。网下与几个朋友讨论，皆是鸣凤，飞熊般的能人，却越说越让人一头雾水。倒不如一旁掌舟不爱说话的拱墅渔翁透彻，三句话不离本行，一番评说，反正我是听明白他的意思了。

渔翁兄慷慨，允我代其在万维发表，抛砖引玉，欢迎各路朋友讨论。人家扁舟一叶，有砖请轻砸。

芝诺悖论、刻舟求剑与宇宙维度

万维各路高人几日来各显身手，围绕《芝诺悖论》各表高论。数列、极限、收敛，梯度、旋度、散度，哲学、物理、数学。各个领域、各种学派，众说纷纭，各有道理、各有局限。突然想到咱们中国也有一个《刻舟求剑》的成语故事，也跟时空有关。

《吕氏春秋·察今》：“楚人有涉江者，其剑自舟中坠于水，遽契其舟曰：‘是吾剑之所从坠。’舟止，从其所契者入水求之。舟已行矣，而剑不行，求剑若此，不亦惑乎？”

不过呢，咱们中国人还是更实用主义一点，好像仅仅限于粗略的定性分析，对此案例的结论就是“比喻办事刻板，拘泥而不知变通。”据后人分析，吕不韦引用这个故事是为了劝勉为政者（秦王？）要明白世事在变，若不知改革，就无法治国。迄今为止似乎还没见有多少人从哲学、物理或数学等别的角度来探讨这个问题。

若是作一点数学物理的假设，也许“刻舟求剑”也并不为错，下列情况都有可能成立：

1. 楚人有涉江者，其剑自舟中坠于水，遽契其舟曰：‘是吾剑之所从坠。’舟止不行，从其所契者入水求之。舟行未远，而剑不行，求剑若此，庶几可也！”（海天来翻译一下 -- 情况1：剑掉下去立刻停船，马上下水探摸，估计能摸上来）

2. 楚人有涉江者，其剑自舟中坠于水，遽契其舟曰：‘是吾剑之所从坠。’舟行复返，从其所契者入水求之。舟既归位，而剑不行，求剑若此，庶不虞失！”（情况2：船开了一阵再返回到落剑的位置，剑大概也丢不了）

3. 楚人有涉江者，其剑自舟中坠于水，遽契其舟曰：‘是吾剑之所从坠。’舟止，从其所契者入水求之。舟虽行矣，而剑亦行，以其舟适载磁石以货，故召铁剑于舟底，得失剑若此，亦天意也！”（情况3：恰好船上满载磁石,把剑吸住了。船儿走，剑也走，从落剑的位置来找，顺理成章）

4. 楚人有涉江者，其剑自舟中坠于水，遽契其舟曰：‘是吾剑之所从坠。’舟止，从其所契者入水求之。舟虽行远，而江流亦速，剑得水运，恰尾其舟左右，遂复得剑，岂不奇哉！”（情况4：船在水上漂，剑在江中游，不离左右，如此找回失剑，也算奇事一桩）

......

如果楚人想要找回失去的剑，就必须重新在时空中与他的剑重合到一个点上。这是古人和今人都同意的观点。在一般的时空观里，这应该也是正确的结论吧。当然了，切莫引入“色即是空，空即是色”，“有便是无，无便是有”的超级哲学。

回到“芝诺悖论”：“假设阿奇里斯速度是乌龟的10倍，但只要乌龟先跑，阿奇里斯就永远追不上。比如说乌龟先跑100米，当阿奇里斯跑完这100米时，乌龟已经在阿奇里斯前面 10米；当阿奇里斯跑完这10米时，乌龟已经在阿奇里斯前面1米；当阿奇里斯跑完这1米时，乌龟已经在阿奇里斯前面0.1米……因此结论是，尽管阿奇里斯 和乌龟之间的距离越来越短，但乌龟却永远在阿奇里斯前面。阿奇里斯永远追不上乌龟。”（原文引述自紫荆棘鸟博文《芝诺悖论解决了吗？》）

在芝诺的时空参照系中，阿奇里斯和乌龟的运动可以简化为一条直线上两个点的同向相对运动。乌龟点在阿奇里斯点的前面，阿奇里斯点必须历经（重合）先前的所有乌龟点后才能在同一时刻与乌龟点重合，也就是追上乌龟。实际上，即使阿奇里斯和乌龟走的都是曲线，芝诺悖论的陈述形式也一样成立。而芝诺在他的陈述中也早已包括了时间因素。

简言之，芝诺悖论可以总结为，假设两个物体沿同一空间轨迹追逐运动，尾追物体必须历经先导物体经历的每一个轨迹点，才能最终在同一时间点和同一空间点上与先导物体重合，进而追上先导物体。相信这是一个比较正式的对芝诺悖论的复述。

可是这里有一点点细微的问题，那就是时间和空间的共存关系。虽然我们假设两个物体的空间轨迹除了时间点的不同，是重合的，但是这是处在四维空间中的人类的肉眼所见和由此产生的思辨假设。如果我们相信时间是一个独立的但又是相关于空间的维度，那么在“事实上”，并不存在“两个物体沿同一空间轨迹追逐运动”这样一种可能性。虽然在人们的眼睛里，两个物体完全可以沿同一空间轨迹追逐运动，比如在铁轨上的前后两列火车。但是，从一个时间和空间的复合角度来看，这两个物体完全是沿两个不同的时空轨迹在运动，并不存在着尾追物体必须历经先导物体经历的所有时空点才能追上后者的要求，而实际上，尾追物体也不可能沿着这样一个轨迹运动，因为“舟已行矣，而剑不行，求剑若此，不亦惑乎”。虽然在人们的眼里，看见的是一个物体追上了另一个物体（阿奇里斯沿着乌龟的足迹追上了长寿之星），但是在一个更完备的多维空间和数理模型中，也许更确切地说，是阿奇里斯沿着自己的时空轨迹在某个点上踩到了乌龟之路的某个点，而恰在此时此刻，阿奇里斯和乌龟在空间的点也是重合的。除了此时此刻之外，“人不能两次踏进同一条河流”，而阿奇里斯和乌龟也不可能经历同一空间而仅有时间上的差距。

根据这样一个假设的理论，芝诺悖论的前提既不成立，后续的推论也就无法证实。在芝诺生活的年代，人们对时间和空间的关系的理解应该也是比较直观。所以，他的理论看似无懈可击，后来的思辨和探讨也都是从数学和哲理的角度进行。

而从另外一个角度来讲，如果人类生活的世界不是我们现在所知的这个样子――地球自转，地球绕着太阳转，太阳随着银河转，整个宇宙在膨胀－－而是整个体系无运动，只有时间往前流，那么，在地球上也许真能找到芝诺需要的那个参照系：阿奇里斯能够沿着乌龟的足迹去追赶这雍容慢行的小东西，这个轨迹是唯一的一条空间曲线。在轨迹上的任何一点看来，假如乌龟在T经历此点的话，阿奇里斯只能在T+Δt赶到同一点。无论Δt能够变得多小，Δt永远不会变成0。也就是阿奇里斯永远赶不上乌龟。

很遗憾的是，人类也许永远也无法创造出这么一个实验环境，因而我们也许永远也无法证明芝诺悖论是否会在那样的一个世界里变成真理。

海天评论：

渔翁兄的道理讲得有点长。我根据自己的理解来浓缩一下，大概是说，芝诺在“龟兔赛跑”的表述中，把时间这个维度压缩进一维的空间尺度概念中了，而我们常人的思维，是基于四维时空的感受（即时间加三维空间）。不同的维度有不同的逻辑，所以芝诺的一维逻辑在四维空间中成为悖论。

这个从一维到四维空间的矛盾，不由得让我想起《时间简史》中看到的一个二维狗：

“二维空间似乎不足以允许像我们这样复杂生命的发展。例如，如果二维动物吃东西时不能将之完全消化，则它必须将其残渣从吞下食物的同样通道吐出来；因为如果有一个穿通全身的通道，它就将这生物分割成两个分开的部分，我们的二维动物就解体了。类似的，在二维动物身上实现任何血液循环都是非常困难的。”

-- 霍金《时间简史》

二维狗从逻辑上就无法生存，一维乌龟追不上自然也只能是个悖论。如果我们能够进入更高维度的时空，看待四维世界，必定能推出无数新的悖论。

所谓悖论，一非谬误，二非诡辩。悖论的存在和难以驳倒，表明我们思维中某些最基本的概念和原则遇到了挑战。