闲侃（8）：郭汉英（之五，完）

我们先介绍一下初等数学中的圆锥曲线，也就是我们中学里学的平面解析几何中的二次曲线：椭圆，抛物线，双曲线。这三种曲线之所以被称为圆锥曲线，是因为古希腊数学大牛阿波罗尼斯，他老人家用平面去切圆锥，随着平面的位置不同而分别得到三种曲线，见下图（from wiki 百科），分别对应抛物线，椭圆和双曲线。其中抛物线是比较特别的，它要求平面和圆锥母线平行，这种特别情形恰好界定了椭圆和双曲线。

阿波罗尼斯可是个圆锥曲线领域罕见的集大成者。在在世时几乎将圆锥曲线的所有重要性质一网打尽，以至这个领域以后一千多年没有本质的进展，直到哲学家笛卡儿发明了解析几何为止。

大家知道，科学的本质虽然是归纳的，但是使得科学变得 robust 的原因，却是演绎推理，从这个意义而言，说欧几里德和阿基米德师徒创立的公理体系是现代文明的摇篮，一点都不是谬赞。欧几里德几何依赖五个公设，其中第五公设是：
            过直线外一点，恰好可以作一条直线和这条直线平行。

历史上许多数学家在思考这第五公设（具体从略）。后来俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶分别独立发现了第一种非欧几何：罗巴切夫斯基几何，它将这条公设改为：
            过直线外一点，可以作无数条直线和这条直线平行。

高斯可能也独立发现了这种几何，不过鉴于高斯的保守，他没有发表他的结果而已。在极端情况下，罗巴切夫斯基几何（也称为双曲几何）的三角形周长是无穷大，内角和等于 0.后来高斯的学生黎曼将第五公设改为：
            过直线外一点，不能作任何直线和这条直线平行。
从而得到另一种非欧几何：黎曼几何，或者称为椭圆几何。椭圆几何比较直观的表示可以在欧几里德球面上实现：例如直线就是球面的大圆，因为大圆都是相交的，所以椭圆几何里事实上没有平行线。

平面几何有两个重要的概念：长度和角度。这两种非欧几何和欧几里德几何的角度测量是一致的，同属“椭圆型”，取正值，但平面的曲率却可以为正值（椭圆几何），0（欧几里德几何）或者负值（双曲几何）。也就是说，这两种非欧几何和欧几里德几何相比，多了一个参量：曲率。欧几里德几何恰好是曲率等于0的情形，相当于两者的“临界点”，就如同抛物线和椭圆和双曲线的关系一样。

这里，概念上必须要强调的是，尽管我们将这个参量称为“曲率”，但并不是说椭圆几何和双曲几何是弯曲的空间，相反，它们和欧式几何一样，属于“平直的空间”，只不过我们用欧氏空间去表示它们，我们需要个多余的参量，而这个参量被称为曲率而已。

类似的，关于角度的测量，也有“双曲型的”，这样，根据对长度和角度测量的不同，我们有多中非欧几何，见下表：

圆锥曲线中最简单的就是抛物线，加利略几何学对应于抛物-抛物的情形，所以它本质上是最简单的几何。黎曼几何和罗巴切夫斯基几何事实上最复杂，因为它们多了个参量。

好，下面我们来看如何推广或者改写狭义相对论以及广义相对论，这正是郭汉英等人的工作。老爱说，物理的结构本质上应该是几何的，我们来看看这句话到底是什么意思。

考察狭义相对论。前面我们说了，我们对时空的直观感觉就是时间和空间彼此是独立的，其一个推论就是，速度可以是0，也可以是无穷大。但，慢着，如果万一时间和空间彼此不完全独立，它们之间存在个制约关系，那会如何呢？这种可能性看上去很荒谬，但理论上却是可能的。这虽然有悖于我们的常识，但也可能是因为这种制约通常很弱，我们一般觉察不到而已。我们先不考虑其后果，只想想这种可能性是不是存在。数学大拿欧拉曾经有句名言，大意是，因为我们这个世界是有限的，所以就必定存在着极大或者极小的道理。从哲学上看，我们并没有理由事先假设这个宇宙是无限的，对不对？如果这个宇宙是有限的，那么假设某个东西从宇宙的这个个地方不花任何时间就能跑到另外一个地方，看起来有些荒谬，对不对。咱们的宇宙都有限了，你在里面运动却可以不花时间，很不够意思，对吧？

因此，从直觉上去考虑，这个宇宙根本不存在什么无穷大的速度，是有道理的。因此我们可以来个合理的假设：速度存在个上限。当然，这个上限在不同的时间不同的地点可能是不一样的，但我们至少有理由相信，在某个时空点的局域空间，亦即平直空间，这个速度有个上限。hmm……速度有个上限意味着什么？意味着很多，因为这意味着，时间和空间是不能彼此独立的，而是相互制约的，否则的话，这个速度就可以是无穷大。空间和时间如何彼此制约我们不知道，可能存在不同形式的制约，例如这里可以通过速度去制约。速度，也就是空间对时间的比值，可是个清晰的概念。当然，说不定还有别的制约，例如空间对时间的积分，或者平直空间的空间和时间的乘积，也有可能存在个最大值呢，对不对？不过时间和空间乘起来，就算存在个最大值，但它到底是啥意思，比较深奥，先略去不谈。老爱教导过我们，在我们这个世界里，没有任何概念是先验的必然的，唯一决定这个概念生存权的，就是它和我们这个物理世界有没有单一的没有歧义的联系。因此这里我们先考虑速度存在个极值的情形。速度是啥意思，我们基本上都懂，对吧？

大家知道，存在个速度上限得到了迈克尔逊-莫雷实验的支持。这个实验可能是人类历史上最重要的实验。所以现在的问题来了：既然存在个最大速度，那么空间和时间必定会互相制约，耦合在一起。很可能，因为我们假定的是速度存在上限，这种耦合可能和速度本身有关。至于是不是这样，我们心里没底，得请数学家帮我们看看，到底应该如何制约。

那时数学最厉害的，除了希尔伯特，就是庞加莱了。事实上，庞加莱早就告诉大家，这种耦合是通过一种现在叫做洛仑兹变换的方式实现的。显然，我们这个世界的真正的几何，并非是伽利略的（一维时间+三维欧几里德的），而是另外一种空间。这种空间称为闵可夫斯基空间，它也是一种非欧几何。它的复杂程度和欧几里德几何一样，比伽利略几何复杂，但比黎曼几何和罗巴切夫斯基几何简单。

有的同学可能会问，这里你假设了速度存在个最大值。如果你假设速度存在个最小值，会如何呢？先不考虑有没有实验的支持，只大体上看看这个假设会带来什么后果。其后果就是，我们这个四维时空的几何，居然是欧几里德几何！区别只是，这时我们的物理世界不能是整个时空，而只能是其中的一部分，就如同狭义相对论的物理区域也只能是整个时空的一部分一样。只不过极大极小两个假设不能同时成立(在合理的 assumption 下），而我们知道极大是有效的，所以结论就是：我们的物理世界四维时空不是欧几里德的也不是伽利略的，而是闵可夫斯基的。

好了，我们将我们的几何体系 expand，就会有如下的列表，这些几何当然都是平直空间。

类似的，洛仑兹变换对应的变换群称为洛仑兹群，其李代数的生成元也恰好有十个生成元，分别对应十个物理量：能量，动量（三个方向），角动量（三个，对应三个欧拉角），以及三个方向上的增速效应。或者用更加对称的说法，时空四个方向（能量+动量)，四维时空共六个转动角动量，只是因为时间特殊，我们区分开来说而已。

好了，从上表可以看出，如果我们真正的物理空间是闵可夫斯基空间，而我们要对相对论进行拓广或者批判的话，那就应该从闵可夫斯基空间出发，对它进行修正，批判或者拓广。狭义相对论对应的平直空间是广义相对论曲面几何的局域平直空间，所以修正狭义相对论就同时修正了广义相对论。也就是说，鉴于存在多种看起来合理的推广方法，那么，通过分析爱因斯坦的引力理论（广义相对论）所遇到的挑战和困难，反过来也可以给大伙儿如何挑选拓展狭义相对论进行指导。

方法一：对洛仑兹群（也就是狭义相对论）进行拓展。鉴于洛仑兹群有十个生成元或者说物理量，拓展的群最好也有十个生成元，洛仑兹群是其一个子群。大家知道，这就是著名的庞加莱群。庞加莱群事实上不是庞加莱引入的，而是闵可夫斯基引入的，很温馨是不是？

方法二：用一种非欧几何代替闵可夫斯基几何，但在特例情形下，它必须退化成闵可夫斯基几何，也就是说，新的狭义相对论必须在特例情形下还原到普通的狭义相对论。从上表中的闽氏几何出发往上走，是伽利略几何和欧几里德几何，这不行，因为我们的物理发展是从伽利略几何到闽氏几何的，我们不能开历史的倒车。所以，和闽氏几何最“近”的几何，就是类似于从欧几里德几何出发，引入正负曲率分别得到黎曼几何和罗巴切夫斯基几何一样，我们这里也得到两种新几何：德西特（de Sitter）几何和反德西特几何，分别拥有正负曲率。

因此，如果说爱因斯坦/洛仑兹/庞加莱等人的狭义相对论只包含光速一个参量的话（从几何角度而言，参量光速的存在使得物理空间是闽氏的），德西特和反德西特空间就存在两个参量（c，r），这里 r 是曲率半径，也就是曲率的倒数，显然这比闽氏几何复杂。闵氏空间对应的变换群，洛仑兹群有十个生成元，对应十个清晰的物理量，但德西特和反德西特空间则有十四个生成元。

历史上，de Sitter本人就拿 de Sitter 时空观和爱因斯坦唱对台戏，不过爱因斯坦却对此不屑一顾，认为这不是物理。但 de Sitter 却无行我素，继续给爱因斯坦添堵。而且沿着这个 approach 添堵的人有不少，其中就有郭汉英。基本上可以说，郭汉英是大陆曾经de Sitter时空最主要的继承者。所以大家看到民科李子丰教授和官科郭汉英教授的区别了么？郭汉英懂相对论，而李子丰压根没挨到边，一个笨蛋而已。

当然郭汉英在这方面的工作，并非只是在狭义相对论这个层次，而是在新的广义相对论上（based on de Sitter spacetime）重新描述宇宙的一些现象，例如熵和温度，等。在传统的物理学中，熵和温度虽然本质上是统计概念，但并没有别的物理量可以很好的取代它们，但在 de Sitter 引力中，因为de Sitter 时空有额外的自由度（de Sitter 变换群有十四个生成元），这些额外的自由度拿来去解释别的物理量，至少数学上是可能的。至于这是不是 valid physics，那就看你如何看了。著名的大师费米就曾经对用额外的参数描述物理嗤之以鼻：“我记得我的朋友约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）曾经说过，用四个参数我可以拟合出一头大象，而用五个参数我可以让它的鼻子摆动。”

率先将 de Sitter 的引力论引入大陆的，其实是几何学家陆启铿和华罗庚院士，特别是陆启铿，他在中国做了奠基性质的工作。随后郭汉英成了陆教授最重要的合作者。当然，这些东西很难说是 valid physics，也正因为如此，何祚庥才敢刁难郭汉英，例如阻挠他评选院士。郭汉英临死前还在为 de Sitter 引力呼吁，鼓励年轻人不要墨守成规，也不知到底是为了什么。

方法三：共形变换，亦即 conformal 变换。庞加莱群是共形变换群（所以洛仑兹群也是）。电磁学里的麦克斯韦方程组也是共形不变的，量子电动力学的 Dirac 方程也是共形不变的，如果不含质量项的话。这东西比较麻烦，我也不怎么懂，具体就免谈了。这里之所以提及，是因为这也是郭汉英研究的主线之一。据说共形变换群在二维情形下和 super string有密切的联系。当然这些东西很难说是 valid physics，不过一旦它们有迹象成为 valid physics，这就会是惊天动地的成就了。