王明贞与乌伦贝克在1945年合著的《On the Theor
作者：mingcheng99+-
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王明贞与乌伦贝克在1945年合著的《On the Theory of the Brownian Motion II》具有重要原创性：他们首次系统地将布朗运动置于随机过程理论的框架下，建立了克雷默方程与福克–普朗克方程的统一描述，并推广至势场中的布朗粒子运动。
以下是这篇论文的主要原创贡献：
🧠 1. 将布朗运动纳入高阶随机过程理论
爱因斯坦与斯莫卢霍夫斯基的早期布朗运动模型主要处理粒子位置的扩散行为。
王–乌伦贝克则从速度空间出发，引入克雷默方程（Kramers equation），描述粒子在速度与位置联合空间中的概率演化。
他们指出布朗运动是高斯随机过程的一个特例，并将其纳入更广泛的马尔可夫过程理论背景下处理。
📘 2. 系统推导克雷默方程与福克–普朗克方程的关系
他们从朗之万方程（Langevin equation）出发，推导出粒子在势场中受阻尼与随机力作用下的运动方程。
通过数学推导，他们展示了如何从微观随机动力学导出宏观概率密度的演化方程，即福克–普朗克方程。
这为后来的随机微分方程理论与耗散系统的量子推广奠定了基础。
🧲 3. 引入势场与外力的布朗运动模型
爱因斯坦模型假设粒子在无外力的均匀介质中扩散。
王–乌伦贝克则考虑了粒子在势阱（如简谐势）中的布朗运动，首次系统分析了势场对扩散行为的影响。
这对后来的光镊实验、分子马达建模、金融市场建模等领域产生深远影响。
📐 4. 建立布朗运动的完整概率结构
他们不仅给出粒子位置的概率分布，还推导了速度分布、联合分布、稳态解与时间相关函数。
这使得布朗运动从“现象描述”跃升为可计算、可预测的统计力学模型。
🔍 总结：原创性亮点
这篇论文不仅是布朗运动理论的里程碑，也成为现代随机过程、统计物理、非平衡热力学的奠基文献之一。