第 2 章

2.3 谱结构与频域尺度响应模型

为进一步刻画算子作用下的结构响应，可分析 $$F_lambdapsi$$ 在频域中的行为特征。考虑其 Fourier 变换形式：

其中 $$hat{psi}_{j,k}$$ 为小波基函数在频域下的谱表达。该变换结果揭示波函数频谱在尺度变换下的压缩行为，并保持谱密度的幂律衰减结构：

此频谱行为展示了标度协变性在频域下的对应关系，对理解系统的能谱结构与分形行为具有重要意义。

第 2 章 分形小波算子的标度协变性与物理解释

2.1 分形小波算子的定义

在 Hilbert 空间$H=L^2(\mathbb{R})H\; =\; L^2(mathbb\{R\})$中，我们利用小波展开构造具有分形特征的波函数$\psi (x)psi(x)$：

其中：

• ${\psi }_{j,k}(x)psi\_\{j,k\}(x)$为尺度指标$jj$与平移指标$kk$的小波基；

• 系数满足分形调制形式：

$\alpha alpha$为表征系统分形标度律的关键参数，通常与分形维度$d_{f}d\_f$相关，例如$d_f\approx \alpha d\_f\; approx\; alpha$或存在函数关系$d_f=g(\alpha )d\_f\; =\; g(alpha)$。

为研究波函数在尺度变换下的响应结构，定义如下非幺正算子：

该算子模拟分形结构在物理尺度$\lambda lambda$下的调制响应，但不保证保持波函数的$L^{2}L^2$范数，即：

📌物理意义补充：算子$F_{\lambda }F\_lambda$用于构建分形态在不同观测尺度下的结构调制模型，其核心在于揭示分形结构的尺度稳定性与演化行为。

2.2 标度协变性分析

尺度变换$x\mapsto \lambda xx\; mapsto\; lambda\; x$会导致小波基函数支撑域扩展或收缩，但若系数满足分形调制结构$c_{j,k}\propto 2^{-j\alpha }c\_\{j,k\}\; propto\; 2^\{-jalpha\}$，则波函数$\psi (x)psi(x)$的整体自相似结构保持不变。

具体结果如下：

该标度协变性反映了分形波函数在空间尺度变换下维度结构的稳定性，即：

🧪 应用与解释场景

算子$F_{\lambda }F\_lambda$及其协变性结构可用于：

• 多尺度演化分析： 模拟量子态在不同空间分辨率下的分形响应；

• 能谱结构尺度建模： 参照第 4 章谱密度分析；

• 实验几何响应分析： 连接实验观测分辨率与分形结构特征变化。

📌图示建议（图 2.1）

建议加入如下插图：

• 原始波函数$\psi (x)psi(x)$与经算子$F_{\lambda }F\_lambda$变换后的形态；

• 比较不同$\lambda lambda$下波函数形态的自相似保持性；

• 可绘制$F_{\lambda }[\psi ](x)F\_lambda[psi](x)$在不同$\lambda lambda$下的振幅结构，图注说明分形结构保持的协变性。

🧩 小结

• 构造了具备分形调制的波函数形式与其尺度变换算子；

• 明确了标度协变性与分形维度稳定性的数学表达；

• 提供了用于实验和模拟中的标度调制模型，支持在不同物理尺度下的分形特性理解。