第一章：
第一章：研究背景与理论框架
一、研究动机
在量子态控制与量子信息处理快速发展的背景下，寻找具备高度结构性与稳定性的量子初态成为当前量子科学的重要课题。分形结构作为一种跨尺度自相似的数学形式，长期以来在经典物理、图像处理与信号分析中展现出强大表现力。近年来，其在量子系统中的潜力逐渐受到关注，尤其在抗干扰性、信息存储与热化抑制方面展现出独特优势。
与此同时，人工智能（AI）尤其是深度学习与量子机器学习的发展，为分形量子态的建模、模拟与识别提供了新的工具与视角。AI 的多尺度建模能力与模式识别优势，与分形结构的天然层次性高度契合。这种跨学科融合也进一步激发了从算法和物理结构两个维度探索分形量子态的动力。
二、已有研究综述
局域化与扩散行为 Anderson 局域化为研究无序体系中量子扩散奠定了基础，其后发展出的多体局域化（MBL）机制进一步揭示了量子系统在非平衡态下的长期稳定性。
分形结构与量子动力学 近期工作尝试通过 Cantor 集、小波构造、Weierstrass 函数等方法生成具有非整数维度的分形初态，用以研究量子扩散率、参与度（PR）与支撑集维数的演化规律。
AI 在量子结构识别中的作用 AI 尤其是图神经网络与生成模型已被应用于复杂量子系统的模拟与态识别任务。其在分析非规则结构如分形态方面表现出强大的特征抽取与聚类能力，有助于揭示非平衡态系统中的稳定性特征。
开放系统与结构保持性 在 Lindblad 主方程演化框架下，研究者开始关注如何保持分形波函数的初始结构，并分析其在环境扰动下的稳定性、信息保持性与拓扑编码潜力。
三、理论模型概述
本研究主要采用一维紧束缚体系（tight-binding），包括以下几类物理背景：
自由粒子模型
准周期势场模型（如 Aubry-André）
引入随机势的无序体系
多体作用修饰的 Mott-Hubbard 模型
理论工具与方法包括：
小波构造与尺度空间展开
分形维数计算（如 box-counting 方法）
时间演化算符、Loschmidt Echo 分析
Lindblad 演化理论与非Hermitian对称性
AI 辅助的结构分类与特征量预测方法
四、研究目标与结构安排
本研究将系统探讨以下内容：
如何通过小波构造获得具备可调分形维度的量子初态，并从数学层面刻画其结构特性
在自由、准周期与无序势场下，分析分形态的动力学扩散、参与度演化与支撑集变形机制
讨论开放环境中的结构保持性与信息动力学特征，包括熵演化与结构记忆保持
探索分形态在多体系统中的稳定性表现及其在量子信息存储与编码策略中的应用潜力
结合人工智能方法，实现对分形结构的自动识别、演化趋势预测与系统分类，为未来量子—AI融合系统提供模型基础