积分智力题试解 （修改）

定义：

求

积分智力题试解

先讨论被积函数的分母。f1(x) = 1 + x^0.5,   f2(x) = 1 + 1/f1(x),  f3(x) = 1 + 1/f2(x),

fn+1(x) = 1 + 1/fn(x)

fn(x) > 1

fn+1(x) - fn-1(x) = 1 + 1/(1+1/fn-1(x)) - fn-1(x) 

= (1 - fn-1(x) - fn-1^2(x))/(fn-1(x) + 1) < 0

这样我们得到

fn+1(x) < fn-1(x)                        (1)

fn(x) > 1                                     (2)

(1) 说明x在（0，1) 区间奇数列单调减少，偶数列单调减少。（2）说明数列有下界。所以奇数列收敛，偶数列收敛。接下来看看数列的极限是什么。在（0，1) 区间任取x0, 假设奇数列收敛于a, 根据递推公式

fn+1(x0) = 1 + 1/(1+1/fn-1(x0))           (3)

得到

a = 1 + 1/(1+1/a)                                    (4)

解得

a = (1+5^0.5)/2                                      (5)

(3)也是偶数列的递推公式，所以(5) 也是偶数列的极限值。奇偶列收敛于同一个极限，推出 fn(x0) 收敛。由于x0的任意性，fn(x) 收敛于常数 a。

所以  In 收敛于 1/a