皮亚诺的这五条公理用非形式化方法叙述如下：

• 1：0是自然数；
  

• 2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；
  

• 3：对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
  

• 4：0不是任何自然数的后继数；
  

5：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

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于是，数学家们就以为归纳法可以用于数学命题的证明了。

大家知道高斯的故事，老师让小学生用自然数累加，从1加2再加3，...。一直加到100.。

高斯很快做出结论。

第一个自然数1加上本次设立的倒数一个自然数n，等于1+n。

第二个自然数2加上倒数第二个自然数n-1，等于1+n。

第三个自然数3加上倒数第三个自然数n-2，等于1+n。

........。

第n/2个自然数加上倒数第n-n/2+1，等于1+n。

高斯没有也无需将省略号以后的所有的加法做完。因为根据皮亚若公理第5条，归纳法是成立的。

这里，因为自然数是一个普遍概念，普遍概念的特征就是每一个元素都具有这个概念的全部属性。

如果命题中的变量不是普遍概念，而是集合概念，皮亚若公理就无效了，因为集合概念的每一个元素不是必然具有概念的属性。好了，这就告诉我们，对于集合概念的命题，例如费马大定理，黎曼猜想，货郎担问题，它们都是变化率的变化率，即二阶逻辑问题。a成立，a+1不一定成立。需要逐一证明，就是说，对于二阶逻辑命题，数学归纳法不能推到多米若骨牌。

不完全归纳法不能用于这一类命题