为什么不能用归纳法证明数学定理

第一节----命题

我们想想，命题是怎么产生的？需要怎么样去证明？

   演绎证明某事肯定是这样，演绎是从一般到特殊，只有演绎推理形式是必然有效的，因为大范畴的存在，是小范畴存在的充分条件，所以，演绎推理是必然的因果关系推理。

归纳说明某事在实际上是有效的，归纳是从一些特殊到一般。

溯因推理是说某事可能是这样。溯因推理是推理形式最弱的一种。

溯因推理借助不完全归纳，预测成为一个命题叫做猜想（证明一个猜想是告诉你结果，让你按照规则找出原因-过程的必然性，把道理讲清楚）。

归纳只能预测，不能证明。

我们证明一个数学命题就是一种整体上弱势溯因加归纳推理，每一个局部需要强势演绎推理。

为什么不能用归纳法证明？因为设立命题时是使用少量样本归纳出来的，再用少量样本证明，就不可靠了。

用哥德巴赫猜想举例：

原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一归纳有限的样本，具有某种性质（两个素数之和），于是归纳推出“哥德巴赫猜想”推导出（预测）有无穷多个的数量样本的偶数也具有某种性质）。

在有限数量基础上归纳产生的猜想，通过演绎证明是不对等的。

归纳是在一个有穷大的样本中逐一列举, 只要样本空间没有被穷尽, 使用的都是简单枚举归纳推理。

而命题是对于无穷大的样本, 我们根本不可能穷尽该样本空间, （例如哥德巴赫猜想中的偶数就有无穷多个）因此只能使用简单枚举归纳推理，简单枚举归纳推理是一种扩大了前提条件的推理, 它的结论是不可靠的。

使用归纳推理提出假说, 其假说是非常脆弱的, 因为对它的逐一证实是绝对不可能的, 除非你穷尽样本空间, 而一旦这样, 你使用的已经不是归纳推理了。

它的脆弱性体是：只要一个反例, 就可以推翻这个假说命题。

无穷多个样本的数学定理必须是全称判断，数学家必须完成一个：由归纳出来的有限个事实样本去证实无穷多个元素的--不可能完全证实的命题进行演绎方法证明，并且结论是全称肯定判断的正确三段论只能是第一格的AAA式。这是绝大多数数学命题证明无法做到的。

溯因加归纳推理是从结果追溯原因的推理，溯因推理是采纳预测的推理.-—— 一个留待观察的假说，归纳产生的全称命题。它仅以疑问的或猜测的方式断定其结论是真的。

归纳推理是基于有限观察的，从有限样本推出一般结论的推理, 它的前提是关于个别事物具有某种性质的论断, 结论却试图得出全体事物皆具有此性质的论断，中间有一个巨大的逻辑空挡。

不完全归纳出来的全称判断形成的待证命题，怎么可能通过演绎推理回到初始信息？怎么越过这个巨大的逻辑空挡，让初始信息变成一个定理？

归纳产生的样本，推导出命题，归纳的样本没有进入命题因果关系；没有进入证据链，前提不是结论（即全称判断的命题）的必然原因，所以只能是猜测。

因为少量归纳产生的元素具有某种属性，夸大和膨胀了命题属性（有无穷多个元素），证明命题时候就要填补这个夸大的空缺。数学家拿什么填补这个空缺？