现在，我们介绍张恭庆的错误，张恭庆是北京大学的数学院士。
循环论证是一种逻辑错误，是指：1，论据的正确依赖论题的支撑。2，两个论据的正确性互相依赖。
什么是数学定理？
1，数学定理必须是一个明确的判断。
2，数学定理必须是一个全称（一切，所有的，任何，每一个）判断。
3，数学定理是一个已经经过正确的演绎法证明的数学命题（不能使用归纳法和类比法证明，演绎法-三段论有256个格式，只有19个格式有效）。
4，数学定理结构（或者说命题结构）由主项与谓项组成。
5，主项与谓项必须是全异关系（不能是种属关系，例如“庞加莱猜想“就是一个错误的命题，主项与谓项是种属关系；“素数有无穷多个”就是一个正确的命题，因为主项”素数“，与谓项”无穷多个“是全异关系）。
6，主项和谓项的含义必须明确表示和界定，不能有“假设”“估计”。
7，数学定理必须符合语法（例如陶哲轩的”存在任意长的素数算术数列“，主项与谓项都是错误的，主项”素数算术数列”是一个集合概念。谓项“任意长“违反语法：肯定判断谓项不能周延）。
8，用公式表达的定理，每一个符号必须是明确的概念和含义，不能有歧义（例如张益唐的公式）。
9，主项必须是普遍概念或者单独概念，不能是集合概念。
10，数学定理的主项必须经过正确的”种加属差“的方法定义。例如，”素数就是大于1并且只能被1和自身整除的自然数“。
11，一个定理陈述一个给定类所有的元素不变的性质和关系，适用于所有的元素，在任何时候无区别的成立。
什么是数学命题证明
1，证明就是理清概念与概念之间的关系，得出确凿无疑的结论--新概念。
2，证明就是理清判断与判断之间的关系，得出新的判断。
3，证明就是利用公理-定理把命题说的明白。命题就是带有判断功能的语句，概念的本质是事物的差异，就是不同事物的否定（概念无限否定性，例如梨子不是馒头，不是包子，不是鸡蛋，....。），多个概念在连接词的作用下形成判断语句。模糊的和错误的句子无法判断。
4，因为数学是研究数量-空间结构-数量和空间结构的变化，我们面对的情况是复杂的和变化的，常常需要从一个时空到另外一个时空，从一个命题推出另外一个命题，从一个判断中得到另外一个判断。证明就是在转换命题-时空-判断时不会出现错误。
5， 我们从已知命题推断出未知命题的行为叫推理，已知命题叫前提，未知命题叫结论。我们证明一个结论的系统化行为，叫做论证。
逻辑就是确保这些推理和论证能够有效的规则。逻辑学就是研究这些有效推论和论证规则与标准的学科。
下面这一页说：定理1.1，设....，又设.....存在适合，如果还有适合.....。
（批判：既然是定理，不能存在预期理由的多重假设）
下面一页：引理3.1，假设...成立，又设....，其中K,G满足假设（3个条件）则.....。最后有“由归纳递推得”
（批判：引理作为论据，必须是明确无误的。而张恭庆假设成立，再设满足3个假设条件，最后还是由归纳所得，足够荒唐。）
下面一页：引理4.2设....满足.....。又设......。此外设满足ps条件。定理4.1，在引理4.2的假设下，又设J在....。
（批判：引理作为一种论据，是在多重假设下的观点，不能成为论据）
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