费马大定理-椭圆曲线

作者：天蓉

发表时间：2024-10-28 17:20

费马最后猜想，在女数学家热尔曼考虑x、y和z都不能被质数p整除的情况，走出关键一步，以使得n=5和7被证明了之后，没有很多实质性的进展。热尔曼的工作还是1825年的事，直到一百多年之后，这个课题才又逐渐地重新活跃起来……

终于到了1995年，怀尔斯完成了他的证明，猜想被证明，“费马最后定理“才横空出世！

但是，怀尔斯并不是直接地证明费马大定理，而是走了一个迂回曲折的路径，证明了另外一个听起来复杂又困难的“东西“！所以说，尽管费马大定理的”描述“连小学生都懂，但是，它的证明却可以说连博士生都不一定懂。即使是对一般的数学人士而言，不花点功夫也很难弄懂的！

图1：怀尔斯“弯道”证明费马大定理

在怀尔斯的迂回路径上^【¹^】，有许多我们大众听起来吓人的“拦路虎“，例如：椭圆曲线、模形式、伽罗瓦表示、同调代数、格代数、复分析、解析函数……

今天挑一个听起来亲切一点的介绍一下：椭圆曲线^【²^】。起码大家都知道，什么是曲线？也见过椭圆长什么样。

不过，这个椭圆曲线中没有椭圆，椭圆曲线不是“椭圆的曲线”！我们原来所知道的、能得到椭圆的那类曲线，数学上叫做圆锥曲线，意思是正圆锥面和一个平面完整相切得到的曲线。圆锥曲线除了能描述椭圆之外，还能描述抛物线和双曲线，一般来说，是二次平面曲线。也包括了退化型的，比如直线和点。

所谓“椭圆曲线“的方程，是3次方程。椭圆曲线长这个样（图2中的1或2）：

图2：椭圆曲线和方程

图2中也写出了椭圆曲线的3次方程的标准形式，还加上一个约束条件。约束的原因是要避免产生如右图所示的曲线中的“尖点”和“自相交”情况。

既然是3次方，为何又被称为椭圆曲线呢？事实是这样的：当人们用微积分计算椭圆周长时，最后需要计算的积分形式是：

令其中的分母为y，再经过平方后便可得到椭圆曲线的方程。

椭圆曲线是有点实用价值的，据说可以用在比特币的加密技术上。

费马大定理是数论中的问题，是有关整数解“存在不存在”的问题，而图2画出的椭圆曲线是定义在2维实数域中，x和y都是实数。因此，到此为止，我们还看不出椭圆曲线和费马大定理有何关联？这其中还需要搭建几个沟通的“桥梁”。有了“桥梁”之后，我们才有可能窥探一下，怀尔斯证明费马大定理道路上的奥秘。

参考资料：