趣味的数学-241
作者：gugeren+-
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趣味的数学-241
证明：当 (x,y,z) 满足
(x+y)^2 + (x+z)^2 = (y+z)^2
时，x、y和z不可能全是奇数。
【引自 Rose Honsberger: From Erdős to Kiev】
趣味的数学-241
证明：当 (x,y,z) 满足
(x+y)^2 + (x+z)^2 = (y+z)^2
时，x、y和z不可能全是奇数。
【引自 Rose Honsberger: From Erdős to Kiev】
证明：
假定 x、y和z都是奇数。由
(x+y)^2 + (x+z)^2 = (y+z)^2
得
x(z+x)=y(z-x) (1)
现在证明（1）的等号两端2因子个数不等。x,y中没有2因子。
设z-x有n个2因子。
z-x=2^n q (2)
z+x= 2^n q+2x=2(2^(n-1)q+x) (3)
如果n=1，(2)有1个2因子，(3)至少有2个2因子，因2^(n-1)q+x 能被2整除。
如果n>1，(2)至少有2个2因子，(3)只有1个2因子，因2^(n-1)q+x不能被2整除。
这矛盾，命题得证。