趣味的数学-222
作者：gugeren+-
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趣味的数学-222
R(n) = (a^n + b^n)/2，其中a = 3 + 2√2，b = 3 - 2√2，n=0,1,2,...。
求R(12345)的个位数字。
趣味的数学-222
R(n) = (a^n + b^n)/2，其中a = 3 + 2√2，b = 3 - 2√2，n=0,1,2,...。
求R(12345)的个位数字。
解：
(a+b)=6
(a^2 + b^2)/2=x7
ab=1
(a^n + b^n)(a+b)=a^(n+1) + a^n b + b^n a+ b^(n+1)
(a^(n+1) + b^(n+1))/2 = 6(a^n + b^n)/2 - (a^(n-1)+b^(n-1))/2 (1)
由递推公式（1）得
(a+b)/2=x3
(a^2 + b^2)/2=x7
(a^3 + b^3)/2=x9
(a^4 + b^4)/2=x7
(a^5 + b^5)/2=x3
(a^6 + b^6)/2=x1
(a^7 + b^7)/2=x3
(a^8 + b^8)/2=x7
(a^9 + b^9)/2=x9
循环周期是6
12345/6余3
所以
(a^12345 + b^12345)/2=x9
R(12345)的个位数字是9。
解：
(a+b)=6
(a^2 + b^2)=x4
ab=1
(a^n + b^n)(a+b)=a^(n+1) + a^n b + b^n a+ b^(n+1)
a^(n+1) + b^(n+1) = 6(a^n + b^n) - (a^(n-1)+b^(n-1)) (1)
由递推公式（1）得
(a+b)=x6
(a^2 + b^2)=x4
(a^3 + b^3)=x8
(a^4 + b^4)=x4
(a^5 + b^5)=x6
(a^6 + b^6)=x2
(a^7 + b^7)=x6
(a^8 + b^8)=x4
(a^9 + b^9)=x8
循环周期是6
12345/6余3
所以
x6
(a^12345 + b^12345)=x8
R(12345)的个位数字是4。