趣味的数学-219
作者：gugeren+-
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趣味的数学-219
圆中的一点P与圆心O点的距离为9，圆半径为15。这个圆中有多少条长度为整数的弦通过P点？
趣味的数学-219
圆中的一点P与圆心O点的距离为9，圆半径为15。这个圆中有多少条长度为整数的弦通过P点？
先假设P点在X轴上，除了垂直X和平行X的弦，其它的同长度的弦有两个方向，斜率大于零和斜率小于零。先解斜率大于等于零的。
现在旋转坐标轴，使得圆的方程为
x^2+y^2=15^2
在X轴上取一点x, 0<=x<=9。过x做垂直X轴的弦。在第一象限，这个弦上一定有一点与原点的距离是9。这个弦长是
2sqrt(15^2-x^2) (1)
x=0: 15^2-x^2=15^2，弦长=30
x=9: 15^2-x^2=12^2，弦长=24
又因为x是实数，调整x (0<x<9)，一定能让
弦长=25, 26, 27, 28, 29
所以(1)的整数解是
24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
考虑到另一个方向，问题的解是
24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
25, 26, 27, 28, 29
有12条长度为整数的弦通过P点。
先假设P点在X轴上，除了垂直X和平行X的弦，其它的同长度的弦有两个方向，斜率大于零和斜率小于零。先解斜率大于等于零的。
现在旋转坐标轴，使得圆的方程为
x^2+y^2=15^2
在X轴上取一点x, 0<=x<=9。过x做垂直X轴的弦。在第一象限，这个弦上一定有一点与原点的距离是9。这个弦长是
2sqrt(15^2-x^2) (1)
为了弦长是有理数(整数)，15^2-x^2一定要配成完全平方。
x=0: 15^2-x^2=15^2，弦长=30
x=9: 15^2-x^2=12^2，弦长=24
又因为x是实数，调整x (0<x<9)，一定能让
弦长=25, 26, 27, 28, 29
所以(1)的整数解是
24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
考虑到另一个方向，问题的解是
24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
25, 26, 27, 28, 29
有12条长度为整数的弦通过P点。
先假设P点在X轴上，除了垂直X和平行X的弦，其它的同长度的弦有两个方向，斜率大于零和斜率小于零。先解斜率大于等于零的。
现在旋转坐标轴，使得圆的方程为
x^2+y^2=15^2
在X轴上取一点x, 0<=x<=9。过x做垂直X轴的弦。在第一象限，这个弦上一定有一点与原点的距离是9。这个弦长是
2sqrt(15^2-x^2) (1)
为了弦长是有理数(整数)，15^2-x^2一定要配成完全平方。
x=0: 15^2-x^2=15^2
x=9: 15^2-x^2=12^2
又因为x是实数，调整x (0<x<9)，一定能让
15^2-x^2=13^2, 14^2
所以(1)的整数解是
2(12),2(13),2(14),2(15)
考虑到另一个方向，问题的解是：
2(12),2(13),2(14),2(15)
2(13),2(14)
有6条长度为整数的弦通过P点。