趣味的数学-186
作者：gugeren+-
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趣味的数学-186
a、b、c和d都是实数。已知四次方程
z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0
的所有的复根都在圆心是 0+0i 的复平面的单位圆上。
求这些复根的倒数之和。
趣味的数学-186
a、b、c和d都是实数。已知四次方程
z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0
的所有的复根都在圆心是 0+0i 的复平面的单位圆上。
求这些复根的倒数之和。
z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0 (1)
设e^(iu) 是(1)的解，代入(1)得
cos(4u)+a cos(3u)+b cos(2u)+c cos(u) = -d
sin(4u)+a sin(3u)+b sin(2u)+c sin(u) = 0 (2)
(2)说明，e^(-iu)也是(1)的解。
设e^(iw) 是(1)的解，e^(-iw)也是(1)的解。
(z-cos(u)-i sin(u))(z-cos(u)+i sin(u))(z-cos(w)-i sin(w))(z-cos(w)+i sin(w)) = 0
(z^2-2z cos(u)+1)(z^2-2z cos(w)+1)=0
z^4+z^3(-2(cos(u)+cos(w))+z^2(2+4cos(u)costs))+
z(-2(cos(u)+cos(w))+1=0 (3)
(1)的解的集合(e^(iu),e^(-iu), e^(iw), e^(-iw)) (4)
不难看出，(4)也是解的倒数的集合。倒数之和
e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = 2(cos(u)+cos(w))
对比(1),(3),
e^(iu) + e^(-iu) + e^(iw) + e^(-iw)) = -a
1】4次方程必有2对共轭根；且所有的复根都分布在单位圆上，故每对共轭根的乘积（即它们的模的平方）都是1，亦即每个根与其共轭互为倒数。
2】故4个根的倒数之和，即等于2对共轭根（亦即4个根）之和。这里拐了个弯，要想一下才能想清楚。
3】最后利用韦达【Vieta】定理，即方程的根与系数之间关系的定理。
正在努力。