趣味的数学-185
作者：gugeren+-
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趣味的数学-185
正三棱锥ABCD的各条棱长都是1米。一只蚂蚁从顶点A出发向前爬。每逢一个顶点时，它都要从那个顶点连接的3条棱中平等地选择1条棱，并顺着那条棱向前爬行。它只能向前爬，不能倒退，直到下一个新的顶点。
已知它爬行7米以后，重新回到A点的概率p=n/729，求n。
【注：正三棱锥ABCD的底是一个正三角形ABC，D是棱锥的顶。故它有AD、BD、CD、AB、BC和CA六条棱。】
趣味的数学-185
正三棱锥ABCD的各条棱长都是1米。一只蚂蚁从顶点A出发向前爬。每逢一个顶点时，它都要从那个顶点连接的3条棱中平等地选择1条棱，并顺着那条棱向前爬行。它只能向前爬，不能倒退，直到下一个新的顶点。
已知它爬行7米以后，重新回到A点的概率p=n/729，求n。
【注：正三棱锥ABCD的底是一个正三角形ABC，D是棱锥的顶。故它有AD、BD、CD、AB、BC和CA六条棱。】
设Ai, Bi, Ci, Di 分别是蚂蚁爬行i米后所处A, B, C, D点的事件。
P(Ai)+P(Bi)+P(Ci)+P(Di)=1
根据对称性P(Bi)=P(Ci)=P(Di)
P(A1)=0, P(B1)=P(C1)=P(D1) = 1/3
P(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|B1)P(B1)+P(A2|C1)P(C1)+P(A2|D1)P(D1)=
(1/3)P(B1)+(1/3)P(C1)+(1/3)P(D1)=P(B1)
P(A2)=P(B1)
P(A(i+1))=P(Bi)
P(A2)=1/3, P(B2)= (3-1)/3^2
P(A3)=(3-1)/3^2, P(B3)= (3^2-(3-1))/3^3
P(A4)= (3^2-(3-1))/3^3, P(B4)= (3^3-3^2+3-1)/3^4
P(A5)= (3^3-3^2+3-1)/3^4, P(B5)= (3^4-3^3+3^2-3+1)/3^5
P(A6)= (3^4-3^3+3^2-3+1)/3^5, P(B6)= (3^5-3^4+3^3-3^2+3-1)/3^6
P(A7)= (3^5-3^4+3^3-3^2+3-1)/3^6=
(2(3^4)+2(3^2)+2)/3^6=
2(81+9+1)/3^6=
182/3^6
n=182
Let P(n) be the probability that after n moves, the bug went back to A.
Then P(n) = (1 - P(n-1))/3, with P(1) = 0.
You can use the recursive formula to find P(7).
Alternatively, solve the recursion to obtain P(n) = (1-(-3)^(1-n))/4