趣味的数学-183
作者：gugeren+-
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趣味的数学-183
若 x^2 - x -1 是 多项式 ax^17 + bx^16 + 1 的因式，a和b都是整数，求a和b。
趣味的数学-183
若 x^2 - x -1 是 多项式 ax^17 + bx^16 + 1 的因式，a和b都是整数，求a和b。
解：
用x^2 - x -1 除 ax^17 + bx^16 + 1, 商的第1项 ax^15, 商的第2项 (a+b)x^14, 商的第3项 (2a+b)x^13, ...。项的系数由Fibonacci numbers 构成。最后一项
(987a+610b)。余数是
(1597a+987b)x + (987a+610b) + 1
为了整除，令
(1597a+987b)x + (987a+610b) + 1 = 0 (1)
为了让(1)成为恒等式
1597a+987b = 0 (2)
(987a+610b) + 1 = 0 (3)
(2), (3) 联立。因1597是素数，由(2)得出
a=987k
b=-1597k
代入(3)得
974169k - 974170k + 1 = 0
k=1
a=987, b=-1597
入手，比较简单些，不过简单得有限。