趣味的数学-181
作者：gugeren+-
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趣味的数学-181
P为ΔABC中的一点，过P分别作与ΔABC的三边平行的平行线，并形成三个面积分别是4、9和49的小三角形t1、t2和t3。
求ΔABC的面积。
【图】
趣味的数学-181
P为ΔABC中的一点，过P分别作与ΔABC的三边平行的平行线，并形成三个面积分别是4、9和49的小三角形t1、t2和t3。
求ΔABC的面积。
【图】
令三角形(t1、t2，t3)的底和高为(b1, b2, b3)和(h1, h2, h3)。
b1h1/2 = 4, b2h2/2=9, b3h3/2=49 (1)
根据相似关系
h1/b1=r, h2/b2=r, h3/b3=r (2)
(1), (2)联立推出，
h1/h2=2/3, h2/h3=3/7, h1/h3=2/7 (3)
根据几何关系，不难看出，
ΔABC的面积
s =(h1+h2+h3)(b1+b2+b3)/2
=(h1b1+h1b2+h1b3+
h2b1+h2b2+h2b3+
h3b1+h3b2+h3b3)/2 (4)
(3),(1)代入(4)得
s=(h1b1+(2/3)h2b2+(2/7)h3b3+
(3/2)h1b1+h2b2+(3/7)h3b3+
(7/2)h1b1+(7/3)h2b2+h3b3)/2
s=(4+6+14+
6+9+21+
14+21+49)=24+36+84=144