趣味的数学-55
亲兄弟大宝和二宝一起参加学校举行的国际象棋比赛。参赛选手共有8位。
比赛以分组淘汰赛形式举行，共赛三轮：
第一轮：8位选手分为4组，每组各赛出一位胜者。
第二轮：第一轮的4位胜者分为2组，每组各赛出一位胜者。
第三轮，即决赛轮：从第二轮的2位胜者中，决出冠军和亚军。
问：比赛中，这两位亲兄弟相遇的概率有多少？
如果把8位选手一般化地推广到n位选手，两位亲兄弟相遇的概率又是多少？
【改编自Frederick Mosteller编著的Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions第17题】
设A8B为两兄弟在8人赛中相遇的事件，A4B为两兄弟在4人赛中相遇的事件，AB是两兄弟分在一组的事件。AW是大宝胜出的事件，BW是二宝胜出的事件。假定，P(AW)=P(BW)=1/2
8位选手分为4组，每组两人。可以看成8个格子分4组，每组2格。Ａ占一格，B要和Ａ一组，一定要在7格中选1。所以，两兄弟分在一组的概率是1/7。
P(A8B) = P(A8B|AB) P(AB) + P(A8B|not(AB)) P(not(AB))=
P(A8B|AB)(1/7)+ P(A8B|not(AB))(6/7)=
1/7+ P(A8B|not(AB),AW,BW)(1/4)(6/7)=
1/7+ P(A4B)(1/4)(6/7)=
1/7+ (P(A4B|AB)P(AB)+P(A4B|not(AB))P(not(AB)))(1/4)(6/7)=
1/7+ ((1/3)+P(A4B|not(AB))(2/3))(1/4)(6/7)
1/7+ (1/3+(1/4)(2/3))(1/4)(6/7)=1/4