趣味的数学 - 15
a】有多少种“本质上不同”的方法来安排3对夫妇在一张圆形餐桌边就坐，使得每个丈夫都不与自己的妻子相邻？
解：
5! - [3(4!2!) - 3(3!2!2!) + 2!2!2!2!] = 32
n对夫妇：
(2n-1)! - [(n,1)(2n-2)!2! - (n,2)(2n-3)!(2!)^2 + (n,3)(2n-4)!(2!)^3 + ... +
(-1)^(n+1)(n,n)(2n-n-1)!(2!)^n]
5! - [3(4!2!) - 3(3!2!2!) + 2!2!2!2!]
故推广到n对时就错了。
3对时，没有那么复杂。
由于是圆桌，要定下一个起点或标志，例如以第一对夫妇H1和W1为标志。
若H1确定座位后，其他5人的坐法是5！。
1对标志夫妇（例如H1和W1）坐在一起后的种类：其余2对夫妇/4人的坐法是4！；H1和W1互相可交换座位，故共是2*4！=2^1*4种。不要考虑其余4人互换座位的变化：因为4！是“全排列”，已经考虑进去了！
2对标志夫妇（例如H1和W1，以及H2和W2）中，每对夫妇都坐在一起的种类：以其中1对夫妇（例如H1和W1）为基本标志，把H2和W2看作一个“单位”（就如你26个数那道题中，取1和2后，把这两数看作一个“单位”类似），剩下的2人再看作2个“单位”，即共有3个“单位”，就是3！种坐法。但这2对夫妇在夫妇之间又可互相交换座位，又另有2*2种变化，即共有2^2*3!种坐法。
3对夫妇的每对夫妇各坐在一起：可以类推，就是2^3*2!种。
因此，3对夫妇时，夫妇各不坐在一起的坐法有：5！-2^1*4-2^2*3!-2^3*2!。
推广至n对夫妇的坐法，就简单多了。
各对夫妇相邻事件。P(A)=4!2!/5!。 P(AB)=3!2!2!/5!。P(ABC)=2!2!2!2!/5!
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) +P(ABC)
所以，
5! - [3(4!2!) - 3(3!2!2!) + 2!2!2!2!]
应该是对的。
一个4的阶乘的感叹号：
因此，3对夫妇时，夫妇各不坐在一起的坐法有：5！-2^1*4!-2^2*3!-2^3*2!
=120-48-24-16=32
把坐成圆桌与坐成成一直线的长桌一样看待了？
3(4!2!)=144 > 5!=120，即“部分大于全部”，不合理。
相邻的概率。
就像0+1说的，要写一本书了。
原先看不懂，你为什么要用(4!2!)。
现在知道，你是用来计算除去一对夫妇坐定以后，剩下的4人的坐法，是吧？
3对夫妇，就乘以3，变成3(4!2!)。
但是，利用概率加法公式，处理那个交叉项，就比较麻烦。