趣味的数学-24【组合数学题】

作者:gugeren
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趣味的数学 - 24【组合数学题】


1】

把n枚硬币叠放起来,其中两枚特殊的硬币不相邻的叠放种类有多少?【不管硬币正反面如何叠放都算为1种】

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第144题】


2】

在正整数1, 2, ..., n的所有排列中,设每个排列中的元素是a(1), a(2), ..., a(n)。

问:这些排列中,a(1)不等于1 并且/或者 a(2)不等于2 的排列的种类有多少?

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”第450题】


【提示:用反向思维!】


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  • zhf:问题1], n个硬币,假设都不同,编号1,2,3,...n。

    1,2不能为相邻。叠放种类有n!-(n-1)!2!

    如果把3,...n视为同类,叠放种类有 n!/(n-2)! - (n-1)!2!/(n-2)!

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  • zhf:2] n! - (2(n-1)! - (n-2)!)
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    gugeren 回复 zhf:Yes, that\'s it!
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  • zhf:n! - (n-1)!2! ?
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    zhf 回复 zhf:1]
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    gugeren 回复 zhf:有错
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    zhf 回复 gugeren:我用n=4模拟,结果争确
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    gugeren 回复 zhf:还需要减去两者的交集
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    gugeren 回复 gugeren:说错了,是要先减去两者的集合,然后还要

    再加上两者的交集:因为多减了。

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    零加一中 回复 zhf:请进

    如果没有限制, N!

    两个在一起,N-1。不是 (N-1)!。因为上下可以区别, 2(N-1)。

    N!- 2(N-1)




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    zhf 回复 零加一中:你的意思是除了两个特殊的,其他都一样?
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    gugeren 回复 zhf:n! - (n-1)!2! ,第1】题的答案,这是对的!

    我原先以为是第2】题的答案。

    2个特殊的硬币放在一起,剩下的硬币仍有(n-1)!种排列;且这2枚特殊的硬币可以互相交换位置,各有2种变化。

    全部n个硬币排列是n!,故是 n! - (n-1)!2!


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    零加一中 回复 zhf:对不起,你是对的。

    我忘了其余 N-2个硬币不一样。

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  • zhf:n!-
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    gugeren 回复 zhf:也不是
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  • 零加一中:(1) 很简单,用反向思维,就留给同志们。
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  • 零加一中:我知道(2),

    用 Inclusion - Exclusion 解决。round(N!/e)

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