趣味数学14 试解

作者:zhf
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国际象棋中,“马【knight】”的走法比较独特:它先向前走2格,再以90度直角拐弯【向左向右均可】走1格;就是说,它走1步,走出2x3格或3x2格的范围来。


现在规定,马的“旅行”是指马连续地走若干步,使得它走遍棋盘上的每一格恰好1次而不重复。如果马的“旅行”走到的最后一步恰好就是它开始“旅行”的第一步时,这时称它的“旅行”是“封闭”的。证明,如果m和n都是奇数,则在一个格数为m x n的棋盘上,不存在马的封闭旅行的路线。


证明:


现在让我们重画棋盘,画成围棋那样的棋盘,让马在横线竖线的交点上。引入坐标,坐标原点是棋盘中的某一点,马的初始点在坐标原点上。棋盘有m x n个点,是奇数个点。假设在Y方向走距离2的步为k步,走距离1的步为w步。这样

在Y方向走过的距离是:k(2) + w(1)

在X方向走过的距离是:k(1) + w(2)

为了覆盖m x n个点,奇数个点,k 和 w 一个为奇数,一个为偶数。

如果k 是奇数,w是偶数,在X方向走过的距离的代数和不能为0。

如果w是奇数,k是偶数,在Y方向走过的距离的代数和不能为0。

证明了奇数步, 不可能回到原点所以不存在马的封闭旅行路线。


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  • 真是好玩:你可以直接定义点的奇偶性。每走一步奇偶性改变一次

    奇数步以后,奇偶性一定改变,不可能回到原来的地方

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    zhf 回复 真是好玩:定义点的奇偶性。如果一个点的横坐标与纵坐标的代数和的绝对值是

    定义点的奇偶性。如果一个点的横坐标与纵坐标的代数和的绝对值是奇数,我们称这个点为奇数点。如果这个代数和的绝对值是偶数,我们称这个点为偶数点。马在原点,坐标(0,0),是偶数点。马每走一步,走过的距离是(1,2)或(2,1)。其坐标增量的代数和dx+dy的绝对值是个奇数。也就是说,在偶数点,马走一步就到了奇数点。在奇数点,马走一步就到了偶数点。从原点开始,马走奇数步就到了奇数点。其横坐标与纵坐标的代数和的绝对值是奇数,必定有一个坐标的绝对值是奇数。奇数不可能为0,所以马走奇数步, 不可能回到原点


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  • gugeren:完全正确!
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    zhf 回复 gugeren:谢谢。这题有意思。
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