趣味数学14 试解
国际象棋中,“马【knight】”的走法比较独特:它先向前走2格,再以90度直角拐弯【向左向右均可】走1格;就是说,它走1步,走出2x3格或3x2格的范围来。
现在规定,马的“旅行”是指马连续地走若干步,使得它走遍棋盘上的每一格恰好1次而不重复。如果马的“旅行”走到的最后一步恰好就是它开始“旅行”的第一步时,这时称它的“旅行”是“封闭”的。证明,如果m和n都是奇数,则在一个格数为m x n的棋盘上,不存在马的封闭旅行的路线。
证明:
现在让我们重画棋盘,画成围棋那样的棋盘,让马在横线竖线的交点上。引入坐标,坐标原点是棋盘中的某一点,马的初始点在坐标原点上。棋盘有m x n个点,是奇数个点。假设在Y方向走距离2的步为k步,走距离1的步为w步。这样
在Y方向走过的距离是:k(2) + w(1)
在X方向走过的距离是:k(1) + w(2)
为了覆盖m x n个点,奇数个点,k 和 w 一个为奇数,一个为偶数。
如果k 是奇数,w是偶数,在X方向走过的距离的代数和不能为0。
如果w是奇数,k是偶数,在Y方向走过的距离的代数和不能为0。
这就证明了马走奇数步, 不可能回到原点。所以不存在马的封闭旅行路线。