扔硬币的“聪明”解

我知道此题能解，但是嫌太烦。当知道答案是1/2，我铁口直断，一定有聪明解。说得更具体点，

“A 先生扔硬币 N 次，B 先生扔 N+1 次，B 先生向上次数大于 A 先生几率多少？”

一定能通过“聪明”解解出，答案应该也是 1/2。

最近每天锻炼时就在想这事，终于修成正果。

考虑三个独立事件，（一）A 扔硬币 N 次，（二）B 扔硬币 N 次，（三）B 扔硬币 1 次。先考虑，事件一二中 B > A 几率为何？

事件一二一共有 2^2N 种结果，合并同类项后为 N X N 种。进一归纳为三种：A>B, A=B, A<B.

考虑二维晶格，A为横轴（X），B为纵轴（Y），这 N X N 个结果为第一象限的正方形。对角线为 A=B。线左上方为 A<B，右下方为 A>B。A>B 和 A<B 几率相等。对角线求和是

[C(N,0)]^2 + [C(N,1)]^2 + ... + [C(N,N)]^2 = (2N)!(N!)^2 = P（N）

事后会发现，P（N）的值我们根本没有用到。A<B 的次数为

(2^2N - P(N))/2

现在把事件三与一二一起考虑。在事件三中向上几率为 1/2。要增加 A<B 几率，事件一二的点必须在对角线上。往下加了也没用，往上不加就已经成立，即已经算进去了。结合事件三一起考虑，A<B 的增加次数为 P（N）/2。A<B 成立的总次数为 2^2N/2。几率为 1/2。用同样策略，初步估计一下，当 B 比 A 多扔 M 次结果仍然为 1/2。过程过于繁复，就不钻进去了。