一道覆盖面很广的数学题

一道覆盖面很广的数学题

r 和 1-r 是一元二次方程 x(1-x)=1 的两个根。求：

r^n + (1-r)^n, n=1,2,3,4,5,6,...

【即求r与1-r的n次方幂之和】

【转引自Edward J. Barbeau等编著的“Five hundred Mathematical Challenges”；中文译名《给数学迷的500个挑战性问题》第377题，有改动】

【注】：

1】这道数学题覆盖了一元二次方程、复数、三角函数，甚至“二项式”等方面的知识。仅凭本人所知，这道题至少有3种解法。简单的解法，几行就能得出结果，繁复的则需要好几个大步骤。

2】一道好的数学题，不但题目要简单易懂，解题思路也要新颖和出人意外，但又不需要钻牛角尖才能做出。不是像某些“奥数”题需要冥思苦想才能解出。

3】这本“500道题”的书，许多题目就是类似这道题的类型。500题仅需高中数学水平就能解答，没有微积分题（虽然有些题用初等微积分很容易解答）。这本书在手，每日做一题，比苦心思索填充“数独”，或者整天追最新的电视剧要强得多，至少不会得老年痴呆，呵呵。